Piastra

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In scienza delle costruzioni una piastra è un elemento strutturale con due dimensioni (lunghezza e larghezza) prevalenti rispetto alla terza (lo spessore) e la cui superficie sia, in media, piana (lastra piana). Comunemente si considera piastra un qualunque elemento piano sottile il cui spessore t sia inferiore ad un ventesimo della dimensione minima l nel piano medio:

Il comportamento delle piastre si può suddividere, in una prima analisi, in:

  • Comportamento a flessione: si valutano le deformazioni in direzione ortogonale al piano medio (lungo lo spessore)
  • Comportamento a membrana: si valutano le deformazioni nel piano medio.

I due tipi di analisi possono essere utilizzati separatamente qualora il carico applicato deformi la piastra prevalentemente a flessione o a membrana. È inoltre possibile combinare le equazioni dei due tipi di analisi per ottenere un modello di piastra più completo.

Equazioni della piastra a flessione[modifica | modifica wikitesto]

A seconda del tipo di modellizzazione del comportamento, le piastre possono distinguersi in tre categorie:

  • Piastre sottili con piccole deflessioni del piano medio (Piastra di Kirchhoff)
  • Piastre sottili con grandi deflessioni del piano medio
  • Piastre di grande spessore (che rispetti comunque la definizione)

Teoria di Kirchhoff[modifica | modifica wikitesto]

Le ipotesi alla base di questa modellizzazione dell'elemento piastra, in analogia con quelle poste alla base della teoria elementare delle travi sono riassunte di seguito:

  1. la deflessione del piano medio della piastra () è piccola rispetto allo spessore : di conseguenza la sua derivata prima nelle direzioni e , risulta piccola ed il suo quadrato trascurabile rispetto a uno;
  2. a seguito della deflessione, il piano medio rimane indeformato;
  3. le sezioni inizialmente normali al piano medio rimangono piane e ortogonali ad esso dopo la deflessione. Di conseguenza gli scorrimenti in direzione z sono nulli ( ) e la deflessione della piastra è dovuta sostanzialmente a deformazioni flessionali. Anche la deformazione risulta piccola e quindi trascurabile rispetto alle altre;
  4. lo sforzo normale (in direzione z),, risulta piccolo rispetto alle altre componenti di sforzo e può essere trascurato.

Se la deflessione non può essere ritenuta piccola (ossia non è dello stesso ordine di grandezza dello spessore della piastra) allora la flessione avviene con deformazione del piano medio e le ipotesi 1 e 2 non risultano più verificate. Nel caso di piastre di grande spessore allora gli sforzi di taglio diventano importanti e le ipotesi 3 e 4 non sono più valide. Occorre pertanto utilizzare una teoria più generale.

Relazioni cinematiche[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore funzionale che agisce sullo spostamento collegandolo con il vettore ingegneristico delle deformazioni, è una matrice che nel caso più generale assume la forma [3x6]:

Per l'ipotesi 3, , ossia tramite il legame cinematico sopra espresso:

la dipendenza di dalle variabili spaziali viene ridotta a:

Espandendo in serie di Mac Laurin rispetto alla variabile z le componenti del vettore spostamento, arrestando lo sviluppo al primo ordine (lineare), si ottengono le relazioni:

e

I coefficienti dello sviluppo in serie sono valutati in corrizpondenza del piano medio, ossia z = 0. Inoltre, ancora per l'ipotesi 3 ed utilizzando il legame cinematico (d'ora in poi si ometterà, per brevità, l'ascritto z = 0)

e

si possono scrivere gli spostamenti in funzione delle derivate prime di w:

e

Per l'ipotesi 2, secondo la quale, a seguito della deformazione il piano medio rimane indeformato, si giunge alla scrittura delle equazioni degli spostamenti della piastra in funzione della deflessione w:

Si evidenzia l'approssimazione di linearità nella variabile lungo lo spessore, z,osservando l'andamento lineare degli spostamenti e .

Avendo ora ricavato le espressioni degli spostamenti nel campo, possiamo utilizzare il legame cinematico, riscritto nel caso delle semplificazioni adottate per la piastra di Kirchhoff, e ricavare le espressioni delle deformazioni in termini dello spostamento w (x,y). Poiché vige l'ipotesi di piccole deformazioni:

Relazioni costitutive[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando le equazioni costitutive per un solido isotropo a comportamento lineare, riscritte nel caso di stato di sforzo bidimensionale ():

ed utilizzando le espressioni ricavate per le relazioni cinematiche, si ottiene:

Si osservi la linearità degli sforzi lungo lo spessore. Come per ipotesi, il piano medio risulta non deformato, pertanto non sollecitato.

Risultanti degli sforzi[modifica | modifica wikitesto]

Per poter giungere alla scrittura delle equazioni di equilibrio di un elemento di piastra, occorre calcolare la risultante delle componenti dello sforzo. Poiché si sta valutando il comportamento a flessione della piastra, le forze agenti sull'elemento sono, con riferimento alle figure:

  • Le forze di taglio (per unità di lunghezza) e ;
Piastra Forze di Taglio.jpg
  • I momenti flettenti (per unità di lunghezza) , e .
Piastra Momenti Flettenti.jpg

La variazione delle grandezze nel dominio di definizione è arrestato al termine del primo ordine (linearità).

Tali grandezze sono calcolabili integrando nello spessore t le funzioni sforzo, per ottenere:

ove si è definita la rigidezza flessionale della piastra D misurata in come:

Le forze assiali sono tutte nulle:

; ;

Equazione differenziale nel campo della piastra a flessione[modifica | modifica wikitesto]

Osservando le figure sopra riportate, si possono scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione in direzione z e alla rotazione attorno agli assi x e y. L'equazione di equilibrio dei momenti intorno all'asse z è identicamente soddisfatta. Si osserva peraltro che l'elemento piastra è per sua costituzione non resistente a momenti agenti in direzione z. Si ottengono pertanto, per l'equilibrio alla traslazione in direzione z:

ove si è indicato con p(x,y) la funzione di carico, eventualmente presente, agente in direzione z (si ricorda che si è assunta positiva la direzione di z verso il basso, con riferimento alle figure) e per l'equilibrio alla rotazione:

in direzione x,
in direzione y.

Derivando le ultime due espressioni e sostituendole nell'equazione ricavata per l'equilibrio alla traslazione in direzione z si ottiene:

Utilizzando le equazioni trovate per i momenti, in funzione delle variabili cinematiche

si ottiene infine:

Si ottiene quindi

che è l'equazione nel campo della piastra sollecitata a pura flessione, quando valide le ipotesi di Kirchhoff sopra illustrate, altrimenti nota come equazione di Sophie Germain-Lagrange sintetizzabile con la notazione

Si è utilizzata la notazione (da leggersi "nabla quarto", o "laplaciano quadro") che indica l'operatore laplaciano di ordine 2, poiché il laplaciano corrisponde a nabla al quadrato. Nel caso bidimensionale esso corrisponde a:

A tale equazione si associano le condizioni al contorno, che possono essere di tipo cinematico (sugli spostamenti e/o sulle rotazioni) o condizioni naturali (o sulle forze, siano esse carichi e/o momenti).

Si noti, infine, che l'equazione di Sophie Germain-Lagrange è del tutto simile all'equazione della linea elastica delle travi inflesse, esprimibile con la relazione:

dove ancora una volta è evidente la dipendenza del carico applicato rispetto alla derivata quarta dello spostamento.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Modelli strutturali
Configurazioni Cauchy.png Continui monodimensionali: Teoria della trave - Trave su suolo elastico alla Winkler
Continui bidimensionali: Serbatoio cilindrico - Piastra - Lastra - Membrana - Guscio


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