Paradosso di Achille e la tartaruga

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Il paradosso di “Achille e la Tartaruga” è il Paradosso di Zenone più famoso. È stato proposto nel V sec. a.C. da Zenone di Elea per difendere le tesi del suo maestro Parmenide, che sosteneva che il movimento fosse un'illusione.

La corsa della tartaruga[modifica | modifica wikitesto]

La descrizione di Aristotele[modifica | modifica wikitesto]

Aristotele espone il paradosso così: «Un mobile più lento non può essere raggiunto da uno più rapido; giacché quello che segue deve arrivare al punto che occupava quello che è seguito e dove questo non è più (quando il secondo arriva); in tal modo il primo conserva sempre un vantaggio sul secondo».[1]

La descrizione di Borges[modifica | modifica wikitesto]

Rappresentazione del paradosso di Achille e la tartaruga secondo la descrizione di Borges. Sull'asse sono indicate le distanze (in metri) percorse da Achille e dalla tartaruga.

Una delle descrizioni più famose del paradosso è dello scrittore argentino Jorge Luis Borges[2]: «Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all'infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».

Un altro approccio considera il significato fisico degli intervalli spaziali, le cui dimensioni dopo pochi passaggi sono estremamente ridotte, perché secondo la meccanica quantistica non ha senso considerare intervalli più piccoli di una determinata dimensione.[3]

Le soluzioni del paradosso[modifica | modifica wikitesto]

La confutazione più immediata è del filosofo Diogene di Sinope, che non disse nulla sugli argomenti portati da Zenone, ma si alzò e camminò, allo scopo di dimostrare la falsità delle conclusioni di quest'ultimo.[4]

Secondo Aristotele, invece, il tempo e lo spazio sono divisibili all'infinito in potenza, ma non sono divisibili all'infinito in atto. Una distanza finita, che secondo Zenone non è percorribile perché divisibile in frazioni infinite, è infinita nella considerazione mentale, ma in concreto si compone di parti finite e può essere percorsa.

La spiegazione matematica sta nel fatto che gli infiniti intervalli percorsi ogni volta da Achille per raggiungere la tartaruga diventano sempre più piccoli ed il limite della loro somma converge, per le proprietà delle serie geometriche. Una somma di infiniti elementi, o meglio, il limite di una somma di infiniti elementi non è necessariamente infinito. Prendiamo ad esempio la somma delle frazioni ottenute dimezzando ogni volta un intero:

La somma di questi elementi è inferiore ad uno. Considerando come ultimo l'elemento numero n, la somma è pari ad uno meno la frazione di ordine n. Per n = 3, la somma è:

Per n = 10, la somma è:

Infatti due elevato a dieci risulta 1024: il limite della somma di infiniti termini è 1. La fallacia nel ragionamento di Zenone, pertanto, sta proprio nel considerare infinita la somma di un numero infinito di termini, quando ciò non è sempre vero, proprio perché la somma di una serie numerica non necessariamente diverge. La causa è quindi da ricercare nell'ignoranza su questi strumenti matematici, definiti solo molto tempo dopo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ C. Ranzoli, Dizionario di scienze filosofiche, 6ª ed., Hoepli, 1963.
  2. ^ Jorge Luis Borges, "Altre inquisizioni", Feltrinelli, 1973, "Metamorfosi della tartaruga"
  3. ^ Il paradosso di Achille e la tartaruga rivisitato - Riflessioni sulle Scienze di Alberto Viotto
  4. ^ Zeno's Paradoxes

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]