Paradosso di Achille e la tartaruga

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1leftarrow blue.svgVoce principale: Paradossi di Zenone.

Il paradosso di “Achille e la Tartaruga” è il Paradosso di Zenone più famoso. È stato proposto nel V sec. a.C. da Zenone di Elea per difendere le tesi del suo maestro Parmenide, che sosteneva che il movimento fosse un'illusione.

La corsa della tartaruga[modifica | modifica wikitesto]

La descrizione di Aristotele[modifica | modifica wikitesto]

Aristotele espone il paradosso così (Fisica, Libro VI, capitolo 9, 239b 14-20) : «Il secondo argomento prende il nome "dell'Achille" e consiste in questo: il concorrente più lento nella corsa non sarà mai raggiunto dal più veloce perché l'inseguitore prima sarebbe costretto a raggiungere il luogo da cui quello che fugge ha preso le mosse, e intanto, di necessità, il più lento sarà sempre un po' più avanti.».[1]

La descrizione di Borges[modifica | modifica wikitesto]

Rappresentazione del paradosso di Achille e la tartaruga secondo la descrizione di Borges. Sull'asse sono indicate le distanze (in metri) percorse da Achille e dalla tartaruga.

Una delle descrizioni più famose del paradosso è dello scrittore argentino Jorge Luis Borges[2]: «Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all'infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».

Un altro approccio considera il significato fisico degli intervalli spaziali, le cui dimensioni dopo pochi passaggi sono estremamente ridotte, perché secondo la meccanica quantistica non ha senso considerare intervalli più piccoli di una determinata dimensione.[3]

Le soluzioni del paradosso[modifica | modifica wikitesto]

La confutazione più immediata è del filosofo Diogene di Sinope, che non disse nulla sugli argomenti portati da Zenone, ma si alzò e camminò, allo scopo di dimostrare la falsità delle conclusioni di quest'ultimo.[4]

Secondo Aristotele, invece, il tempo e lo spazio sono divisibili all'infinito in potenza, ma non sono divisibili all'infinito in atto. Una distanza finita, che secondo Zenone non è percorribile perché divisibile in frazioni infinite, è infinita nella considerazione mentale, ma in concreto si compone di parti finite e può essere percorsa.

Soluzione matematica[5][modifica | modifica wikitesto]

In termini matematici, il paradosso è attualmente confutabile riconducendolo allo studio di una serie geometrica. In particolare, Achille dovrà impiegare un tempo per raggiungere la tartaruga, e è composto di un'infinità di tempi, in simboli:

Poniamo il problema in un sistema di riferimento:

  • la posizione iniziale di Achille si trova nell'origine, mentre quella della tartaruga a una distanza da essa;
  • le distanze successive percorse dalla tartaruga sono indicate con e così via;
  • la velocità di Achille sarà chiamata , mentre quella della tartaruga e si ha che
  • poniamo infine una costante dal punto precedente segue che

Per la legge oraria del moto rettilineo uniforme, Achille impiega un tempo per percorrere la distanza . In questo tempo, la tartaruga è avanzata di . A questo punto Achille percorrerà la distanza in e la tartaruga percorrerà uno spazio e così via per le iterazioni successive. Da ciò si ottiene che

Se vogliamo esprimere il tempo in termini di dobbiamo dunque considerare che

Si può dimostrare per induzione a partire da questa equazione che

Utilizziamo questa uguaglianza per riscrivere come

La somma è una serie geometrica di ragione , e il valore di questa somma è .[6]

Per questo motivo, Achille raggiungerà la tartaruga in un tempo

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Fisica, Milano, Bompiani, 2011.
  2. ^ Jorge Luis Sal Borges, "Altre inquisizioni", Feltrinelli, 1973, "Metamorfosi della tartaruga"
  3. ^ Il paradosso di Achille e la tartaruga rivisitato - Riflessioni sulle Scienze di Alberto Viotto
  4. ^ Zeno's Paradoxes
  5. ^ Marson, Baiti, Ancona, Rubino, Analisi Matematica 1 - Teoria e applicazioni, Roma, Carocci, 2010, pp. 244-245, ISBN 978-88-430-5289-9.
  6. ^ In termini matematicamente più rigorosi: la serie converge a. Per approfondimenti consultare la sezione dedicata.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]