Palla (matematica)

In matematica, una palla (o bolla, o intorno circolare) è un sinonimo di sfera, che le viene preferito nel caso di spazi non tridimensionali e per gli spazi metrici in generale.

Un sinonimo per palla (in geometria o in topologia, e in ogni dimensione) è disco; tuttavia, una palla tridimensionale è chiamata generalmente sfera, e una palla bidimensionale (ad esempio un cerchio nel piano) è chiamata generalmente disco.

Spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Sia M uno spazio metrico. La palla (aperta) di raggio r > 0 centrata nel punto p di M è definita come

B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},

dove d è la distanza o metrica. Se il simbolo di minore (<) è sostituito dal simbolo di minore o uguale (≤), la definizione precedente diventa quella di una palla chiusa:

{\bar {B}}_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}

.

Occorre comunque prestare attenzione al fatto che la chiusura di una palla aperta $B_{r}(p)$ in generale non coincide con la palla chiusa ${\bar {B}}_{r}(p)$ , bensì è inclusa. D'altronde, un elemento x di $B_{r}(p)$ appartiene alla sua chiusura se e solo se esiste una successione di elementi di $B_{r}(p)$ di cui x è il limite. Può essere che $d(x,p)\leq r$ ma non esistere una successione suddetta.

Nota in particolare che una palla (aperta o chiusa) include sempre p stesso, poiché r > 0. Una palla unitaria (aperta o chiusa) è una palla di raggio 1.

Nello spazio euclideo n-dimensionale con l'ordinaria metrica euclidea, se lo spazio è la retta, la palla è un intervallo, e se lo spazio è il piano, la palla è il disco interno a un cerchio. Gli oggetti a quattro dimensioni e superiori sono chiamati iperpalla e ipersfera. Vedi quest'ultima per "volume" e "area".

Con altre metriche la forma di una palla può essere differente, ad esempio:

in 2 dimensioni:
- con la norma 1 (cioè nella geometria Manhattan) una palla è un quadrato con le diagonali parallele agli assi coordinati
- con la distanza di Chebyshev una palla è un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati

in 3 dimensioni:
- con la norma 1 una palla è un ottaedro regolare con le diagonali interne parallele agli assi coordinati
- con la distanza di Chebyshev una palla è un cubo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati

Nota che in molti casi le palle ruotate non sono palle.

Nozioni correlate[modifica | modifica wikitesto]

Le palle aperte, rispetto a una metrica d formano una base per la topologia indotta da d (per definizione). Questo significa tra l'altro che tutti gli insiemi aperti in uno spazio metrico possono essere scritti come unione di palle aperte.

Un sottoinsieme di uno spazio metrico è limitato se è contenuto in una palla. Un insieme è totalmente limitato se, dato un qualsiasi raggio, è coperto da un numero finito di palle di quel raggio.

Spazi topologici[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio topologico, una palla (aperta o chiusa) è un sottoinsieme omeomorfo alla palla euclidea (aperta o chiusa) descritta sopra, ma talvolta privo della sua metrica. Una palla è nota per la sua dimensione: una palla n-dimensionale è detta n-palla e indicata con $B^{n}$ o $D^{n}$ . Per n ed m distinti, una n-palla non è omeomorfa a una m-palla. Una palla può non essere liscia; se è liscia, non è necessario che sia diffeomorfa a una palla euclidea.