Ordinamento tra numeri reali

Quando si parla di ordinamento dei numeri reali, si intendono tutte le relazioni di confronto che si possono stabilire tra essi; il metodo più semplice per effettuare questa operazione è considerare i numeri reali attraverso le troncate. Utilizzando le troncate si agisce in pratica tra numeri in forma decimale, anche se caso per caso possono cambiare, agendo sull'indice.

Uguaglianza fra numeri in forma decimale

Dati due numeri reali a e b:

$a=b\Longleftrightarrow \forall {n}\in \mathbb {N} \;\left[a\right]_{n}-\left[b\right]_{n}\leq 10^{-n}$

Non è difficile dedurre che tale criterio vale per entrambe le due diverse condizioni sotto le quali due serie esprimono numeri eguali:

• uguali per ogni singola cifra
• due rappresentazioni, l'una 0-periodica e l'altra 9-periodica dello stesso decimale finito

Un'altra importante conseguenza di questa definizione è il fatto che essa ci permetta di verificare come il criterio di eguaglianza fra i numeri reali goda delle tre proprietà fondamentali delle relazioni d’equivalenza che avevamo viste rispettate anche per il campo dei razionali e dei naturali. Infatti l'uguaglianza tra reali possiede:

• La proprietà riflessiva, cioè dato un numero reale r, r=r
• La proprietà simmetrica, cioè se, dati due reali a e b, a=b, allora avremo anche che b=a
• La proprietà transitiva, che afferma, dati tre numeri reali p,q,r, se p=q e q=r, allora p=r

Disuguaglianza fra numeri in forma decimale

Per stabilire se due numeri reali a e b sono diversi si utilizza il seguente principio:

$a\neq \ b\Longleftrightarrow \exists \ {\tilde {n}}\in \mathbb {N} \;:\left[a\right]_{\tilde {n}}-\left[b\right]_{\tilde {n}}>\ 10^{-n}$

In realtà si può formulare il criterio in un secondo modo osservando che se la differenza fra le due troncate a n cifre è strettamente maggiore di :$10^{-n}$, e cioè di un'unità sull'ultima cifra, ciò vuol dire che vale almeno due unità, e cioè: $2\cdot 10^{-n}$. Il criterio può dunque essere enunciato come segue:

$a\neq \ b\Longleftrightarrow \exists \ {\tilde {n}}\in \mathbb {N} \;:\left[a\right]_{\tilde {n}}-\left[b\right]_{\tilde {n}}\geq \ 2\cdot 10^{-n}$

Ordinamento fra numeri in forma decimale

Consideriamo due numeri reali, x e y : adesso vediamo quali devono essere le caratteristiche delle loro troncate affinché sussistano tra loro relazioni di maggiorazione o minorazione (stretta o no):

• ${x}\leq \ {y}\quad$ se
  • $x=y\quad \qquad \quad \qquad \qquad$ o
  • $\forall {n}\in \mathbb {N} \;\left[x\right]_{n}\leq \ \left[y\right]_{n}$
• $y>\ x\quad \qquad \qquad \quad$ se $\qquad \quad \qquad x\neq \ y\quad$ e $\qquad \qquad \quad x\leq \ y$