Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedano tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su $\mathbb {R} ^{n}$.

Definizione

Si definisce operatore unitario un isomorfismo $U:{\mathcal {H}}_{1}\rightarrow {\mathcal {H}}_{2}$ tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:

$(\phi ,\psi )=(U\phi ,U\psi )\qquad \forall \phi ,\psi \in {\mathcal {H}}_{1}$

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=1$

dove si indica con $U^{\dagger }$ l'aggiunto dell'operatore $U$.

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

$\|U\|=1$

In spazi vettoriali a dimensione finita la surgettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

Spettro

Lo spettro di un operatore unitario $U$ giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero $\lambda \in \mathbb {C}$ nello spettro si ha $|\lambda |=1$. Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che $U$ è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione $f\in L^{2}(\mu )$ misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito $(X,\mu )$ con misura di Borel $\mu$. Allora, dal momento che $UU^{\dagger }=I$ implica $|f(x)|^{2}=1$ quasi ovunque rispetto a $\mu$, lo spettro essenziale di $f$, e dunque lo spettro di $U$, è contenuto nella circonferenza unitaria.

Linearità

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

$\langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle$

$=\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle$

$=|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle$

$=|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle$

$=0$

In modo analogo si ottiene:

$\langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0$

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
• (EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.

Voci correlate

• Isomorfismo
• Matrice invertibile
• Matrice trasposta coniugata
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Operatore unitario, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) V.I. Sobolev, Unitary operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) V.I. Sobolev, Unitarily-equivalent operators, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.