Operatore di Hilbert-Schmidt

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In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato un operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert separabile . Data una base ortonormale di , si definisce traccia di il numero:[1]

è detto operatore di Hilbert-Schmidt se:[2]

In modo equivalente, si definisce norma di Hilbert–Schmidt il numero:

dove è la norma di . Se tale norma è finita è un operatore di Hilbert-Schmidt.[3] Gli elementi della base possono non essere numerabili, e la definizione è indipendente dalla base scelta. Inoltre, si verifica che:

dove:

e è la norma di Schatten di . In uno spazio euclideo è anche detta norma di Frobenius.

Il prodotto interno di Hilbert-Schmidt è il prodotto interno tra due operatori di Hilbert–Schmidt e definito nel seguente modo:

Tale somma è finita, e indipendente dalla base scelta.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Gli operatori di Hilbert-Schmidt formano un *-ideale nell'algebra di Banach degli operatori limitati su . Essi costituiscono inoltre uno spazio di Hilbert che si dimostra essere isomorfo e isometrico (tramite una trasformazione naturale) al prodotto tensoriale tra spazi di Hilbert , dove denota lo spazio duale di .
  • Un operatore di Hilbert-Schmidt è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se:
dove i numeri sono i valori singolari dell'operatore.
  • Gli operatori a rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma .
  • Due operatori e sono di Hilbert–Schmidt se e solo se è di classe traccia.
  • Un operatore è di Hilbert-Schmidt se e solo se per una qualche base ortonormale di .
  • Sia uno spazio di misura e sia lo spazio delle funzioni quadrato sommabili su . Una condizione sufficiente affinché un operatore limitato definito su sia di Hilbert-Schmidt è che esista una funzione:
tale che:
e si ha inoltre:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 206
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 210
  3. ^ M.S. Moslehian, Hilbert–Schmidt Operator (From MathWorld), mathworld.wolfram.com.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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