Operatore di Hilbert-Schmidt

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In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia dato un operatore lineare limitato A su uno spazio di Hilbert separabile H. Data una base ortonormale \{ \phi_n \} di H, si definisce traccia di A il numero:[1]

{\rm Tr} A:=\sum_{n}^\infty \langle A \phi_n, \phi_n \rangle

A è detto operatore di Hilbert-Schmidt se:[2]

{\rm Tr} A^*A < \infty \

In modo equivalente, si definisce norma di Hilbert–Schmidt il numero:

\|A\|^2_{HS}={\rm Tr} |A|^2:= \sum_{n} \|A \phi_n \|^2

dove \|\ \| è la norma di H. Se tale norma è finita A è un operatore di Hilbert-Schmidt.[3] Gli elementi della base possono non essere numerabili, e la definizione è indipendente dalla base scelta. Inoltre, si verifica che:

\|A\|^2_{HS}=\sum_{i,j} |A_{i,j}|^2 = \|A\|^2_2

dove:

A_{i,j}=\langle \phi_i, A\phi_j \rangle

e \|A\|_2 è la norma di Schatten di A. In uno spazio euclideo \|\ \|_{HS} è anche detta norma di Frobenius.

Il prodotto interno di Hilbert-Schmidt è il prodotto interno tra due operatori di Hilbert–Schmidt A e B definito nel seguente modo:

\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{tr} (A^*B) = \sum_{i} \langle A \phi_n, B \phi_n \rangle

Tale somma è finita, e indipendente dalla base scelta.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Un operatore di Hilbert-Schmidt è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se:
\sum_{n=1}^\infty \lambda_n^2 \le \infty
dove i numeri \{ \lambda_n \} sono i valori singolari dell'operatore.
  • Gli operatori a rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma \|A\|_{HS}.
  • Due operatori A e B sono di Hilbert–Schmidt se e solo se C = AB è di classe traccia.
  • Un operatore A è di Hilbert-Schmidt se e solo se \{ \| A \phi_n \| \} \in l^2 per una qualche base ortonormale \{ \phi_n \} di H.
  • Sia (X,\mu) uno spazio di misura e sia H=L^2(X,d\mu) lo spazio delle funzioni quadrato sommabili su X. Una condizione sufficiente affinché un operatore limitato A definito su H sia di Hilbert-Schmidt è che esista una funzione:
K \in L^2(X \times X,d\mu \otimes d\mu)
tale che:
(Af)(x) = \int K(x,y)f(y)d\mu(y)
e si ha inoltre:
\|A\|_{HS}^2 = \int |K(x,y)|^2 d\mu(x)d\mu(y)

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 206
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 210
  3. ^ M.S. Moslehian, Hilbert–Schmidt Operator (From MathWorld).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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