Operatore lineare chiuso

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In matematica, e più specificatamente in analisi funzionale, gli operatori lineari chiusi sono un'importante classe di operatore lineari su uno spazio di Banach. Essi sono più generali degli operatori lineari limitati, e quindi non sono necessariamente continui, ma hanno lo stesso proprietà interessanti per definire lo spettro e (sotto certe assunzioni) un calcolo funzionale per tali operatori. Molti operatori lineari importanti che non sono limitati sono chiusi, come l'operatore derivata e la grande classe degli operatori differenziali, per esempio in meccanica quantistica l'operatore momento e l'operatore posizione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di Banach. Un operatore lineare:

è detto chiuso se per ogni successione in convergente a tale che:

si ha che e che:

In modo equivalente, è chiuso se il suo grafico è chiuso in .[1]

Dato un operatore , se la chiusura del suo grafico in è il grafico di un qualche operatore allora è la chiusura di , e è detto chiudibile. è quindi chiudibile se è la restrizione di un operatore chiuso al dominio di .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Se è chiuso allora è chiuso, dove è uno scalare e l'identità.
  • Se è chiuso, allora il suo nucleo è un sottospazio chiuso di .
  • Se è chiuso e iniettivo, allora il suo inverso è chiuso.
  • Un operatore ammette una chiusura se e solo se per ogni coppia di successioni e in convergenti a e tali che sia che convergono, si ha:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 250.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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