Numero plastico

Numero plastico
Simbolo	${\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}$
Valore	1,3247179572447460259609088... (sequenza A060006 dell'OEIS)
Frazione continua	[1, 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80, ...] (sequenza A072117 dell'OEIS)
Insieme	numeri algebrici irrazionali
Costanti correlate	sezione aurea

Il numero plastico (anche noto come costante plastica) è l'unica soluzione reale $\rho$ dell'equazione

$x^{3}=x+1,$

ed ha il valore

$\rho ={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}},$

il cui sviluppo decimale inizia con 1,324717957...

Spirale di triangoli equilateri i cui lati hanno lunghezze che seguono la successione di Padovan, i lati hanno tra di loro rapporto di 1/$\rho$

Il numero plastico è il limite del rapporto dei termini successivi della successione di Padovan e della successione di Perrin.

Il numero plastico è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan.

Proprietà

Successioni

Le potenze del numero plastico A(n) = ρⁿ soddisfano la relazione di ricorrenza lineare del terzo ordine A(n) = A(n − 2) + A(n − 3) per n > 2. Quindi è il rapporto limite di termini successivi di qualsiasi successione di interi (diversi da zero) che soddisfa questa ricorrenza come i numeri di Cordonnier (più conosciuti come termini della successione di Padovan), i numeri di Perrin e i numeri di Van der Laan, ed è correlato a queste successioni come il numero aureo con la successione di Fibonacci e con i numeri di Lucas, così come il numero d'argento è correlato alla successione di Pell.

Il numero plastico può essere scritto come radicale continuo nel seguente modo:

$\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}.$

I quadrati con i lati in rapporto di $\rho$ possono essere disposti a spirale

Teoria dei numeri

Siccome il numero plastico ha come polinomio minimo $x^{3}-x-1,$ è anche una soluzione dell'equazione polinomiale $p(x)=0$ per ogni polinomio $p$ che è multiplo di $x^{3}-x-1,$ ma non per qualunque altro polinomio a coefficienti interi. Poiché il discriminante del suo polinomio minimo è uguale a $-23$ il suo campo di spezzamento è $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}},\rho ).$ Questo campo è anche il campo di classe di Hilbert di $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}}).$

Esso è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan. I suoi coniugati algebrici sono

$\left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0,662359\pm 0,56228i,$

di modulo circa $0,868837.$ Questo valore corrisponde anche a ${\frac {1}{\sqrt {\rho }}}$ visto che il prodotto delle tre radici del polinomio minimo è 1.

Trigonometria

Il numero plastico può essere scritto in termini di coseno iperbolico e del suo inverso:

$\rho ={\tfrac {1}{c}}\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}(3c)\right),\qquad {\text{con}}\quad c=\cos \left({\tfrac {2\pi }{12}}\right)=\sin \left({\tfrac {2\pi }{6}}\right)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.$

Geometria

Le tre partizioni in rettangoli simili di un quadrato

Esistono esattamente tre modi per suddividere un quadrato in tre rettangoli simili:

1. La soluzione banale che consiste in tre rettangoli congruenti con rapporto d'aspetto 3:1.
2. La soluzione in cui due dei tre rettangoli sono congruenti e un terzo rettangolo con i lati lunghi il doppio della coppia congruente e in cui i rettangoli hanno rapporto d'aspetto 3:2.
3. La soluzione in cui i tre rettangoli sono reciprocamente non congruenti (tutti di dimensioni diverse) e in cui hanno rapporto d'aspetto $\rho ^{2}.$ I rapporti delle dimensioni lineari dei tre rettangoli in questo caso sono: $\rho$ (grande:medio); $\rho ^{2}$ (medio:piccolo); e $\rho ^{3}$ (grande:piccolo). Il lato lungo, posto internamente, del rettangolo più grande (la linea di faglia del quadrato) divide due dei quattro bordi del quadrato in due segmenti che si trovano ciascuno in rapporto $\rho$ con l'altro. Il lato corto del rettangolo medio coincidente con il lato lungo del piccolo rettangolo divide il lato del quadrato in due segmenti che si trovano nel rapporto $\rho ^{4}.$

Il fatto che un rettangolo di proporzioni $\rho ^{2}$ possa essere utilizzato per dissezioni di un quadrato in rettangoli simili equivale a una proprietà algebrica del numero $\rho ^{2}$ relativo al teorema di Routh – Hurwitz per la quale tutti i suoi coniugati hanno una parte reale positiva.

Storia e nome

L'architetto olandese e monaco benedettino Dom Hans van der Laan ha dato il nome numero di plastica (in olandese het plastische getal) a questo numero nel 1928. Nel 1924, quattro anni prima, l'ingegnere francese Gérard Cordonnier aveva già scoperto il numero e lo aveva chiamato "il numero radiante" (ancora in francese si usa l'espressione le nombre radiante). A differenza dei nomi di numero aureo e numero d'argento, la parola plastico non è stata intesa da van der Laan per riferirsi a una sostanza specifica, ma piuttosto nel suo senso aggettivale di qualcosa a cui si può dare una forma tridimensionale. Questo, secondo Richard Padovan, è perché i rapporti caratteristici del numero, 3/4 e 1/7, si riferiscono ai limiti della percezione umana nel mettere in relazione una dimensione fisica con un'altra. Van der Laan progettò nel 1967 la chiesa abbazia di Mamelis con queste proporzioni numeriche.

Curiosità

Il matematico Donald Knuth, raccogliendo una proposta di chiamare questo numero phi-alto ha creato un carattere simile al greco phi ("φ") ma con il cerchio alto sul gambo così da somigliare alla lettera pari ("Ⴔ") dell'alfabeto Asomtavruli.

Bibliografia

• Midhat J. Gazalé, Gnomon, 1999 Princeton University Press.

Voci correlate

• Equazione di terzo grado

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero plastico, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Tales of a Neglected Number di Ian Stewart