Numero transfinito

In matematica la nozione di numero transfinito estende la nozione di numero, le operazioni aritmetiche e la relazione d'ordine proprie dei numeri naturali a una classe più ampia di oggetti che in qualche senso sono "più grandi" degli usuali numeri "finiti". Queste entità sono state introdotte da Georg Cantor e servono a fornire un importante strumento di lavoro nella teoria degli insiemi e di riflesso nella matematica.

Come per i numeri finiti vi sono due modi in cui la nozione di numero può essere estesa ai numeri transfiniti: come numeri ordinali e come numeri cardinali. Contrariamente a quanto accade per i numeri finiti, accade che ordinali transfiniti e cardinali transfiniti costituiscono due classi distinte di entità non isomorfe.

• Il più piccolo numero ordinale transfinito è ω.
• Il primo numero cardinale transfinito è $\aleph _{0}$ (aleph zero) cioè la cardinalità dell'insieme infinito dei numeri naturali $\mathbb {N}$.
• Il successivo numero cardinale è $\aleph _{1}$ (aleph uno).

L'ipotesi del continuo afferma che non esistono numeri cardinali intermedi tra $\aleph _{0}$ e la cardinalità del continuo ${\mathfrak {c}}$, cioè la cardinalità dell'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$: questo equivale ad affermare che ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$. Però, grazie agli studi di Paul Cohen, l'esistenza di un numerico cardinale è stata dimostrata indecidibile.

Sia per il sistema degli ordinali sia per quello dei cardinali, si può procedere illimitatamente nella introduzione di numeri transfiniti, andando incontro a forme sempre più bizzarre di entità numeriche.

Ricordiamo che Georg Cantor ha introdotto anche la nozione di infinito assoluto per poter trattare il più esteso concetto assoluto di "numero grande".

Voci correlate

• Numero beth
• Cardinale grande
• Cardinale inaccessibile
• Cardinale di Mahlo
• Infinitesimale
• Paul Cohen (matematico)

Collegamenti esterni

• (EN) transfinite number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.