Misura prodotto

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In matematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due spazi di misura. Ad ogni funzione definita su e ad ogni si può associare una funzione definita in nel seguente modo:

Analogamente si definisce per ogni la funzione tale che:

Entrambe le funzioni sono rispettivamente -misurabile e -misurabile.[1]

Per ogni insieme aperto si definisce inoltre:

Si dimostra che se:

allora è -misurabile e è -misurabile, e si ha:[2]

Si definisce la misura prodotto delle due misure e l'integrale:[3]

Tale misura è definita sullo spazio ed è l'unica tale per cui valga la seguente proprietà:

L'esistenza di questa misura è garantita dal teorema di Hahn-Kolmogorov, mentre l'unicità è fornita solamente nel caso incui sia che sono σ-finiti.

La misura di Borel sullo spazio euclideo può essere ottenuta come il prodotto di n copie della misura di Borel sulla retta reale .

La costruzione opposta alla quella della misura prodotto è la disintegrazione, che in alcuni casi "splitta" una data misura in una famiglia di misure che possono essere integrate per fornire la misura di partenza.

Il Teorema di Fubini[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Fubini.

Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su . Siano e due spazi di misura. Ad ogni funzione che sia -misurabile su e ad ogni si può associare una funzione definita in nel seguente modo:

Analogamente si definisce per ogni la funzione tale che:

Se la funzione è positiva e se:[4]

allora è -misurabile e è -misurabile, inoltre:

In modo equivalente si può scrivere:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 138
  2. ^ W. Rudin, Pag. 139
  3. ^ W. Rudin, Pag. 140
  4. ^ W. Rudin, Pag. 141

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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