Separazione delle variabili

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In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.

Equazioni differenziali ordinarie[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

con . Se si possono riordinare i termini:

in modo che le variabili e siano separate ognuna in uno dei due membri.

Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è , la crescita esponenziale.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Equazione logistica.

La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:

dove è la popolazione in funzione del tempo , è il suo tasso di crescita e è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:

Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:

e quindi la si decompone in fratti semplici:

Si ha quindi:

Uguagliando gli integrandi:

da cui:

per le proprietà dei logaritmi:

Si ha:

e quindi:

Sia . Allora:

che si può riscrivere:

da cui si ricava:

Quindi la soluzione all'equazione logistica è:

Per trovare , sia e . Si ha:

Notando che , risolvendo per si ha:

Equazioni alle derivate parziali[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.

Caso omogeneo[modifica | modifica wikitesto]

Data l'equazione del calore in una dimensione:

con condizione al contorno:

si cerca di trovare una soluzione non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da e è separata, ovvero:

Sostituendo nell'equazione e usando la regola del prodotto:

Dato che il membro alla destra dipende solo da e quello alla sinistra solo da , entrambi sono uguali ad una qualche costante :

dove è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con e le rispettive autofunzioni.

Per mostrare che non vi sono soluzioni per , si osserva inizialmente che per esistono due numeri reali e tali che:

Utilizzando le condizioni al contorno si ha che , da cui si ha , che implica che è nulla. Supponendo , del resto, in tal caso esistono due numeri reali e tali che:

Dal fatto che si conclude in modo analogo che è nulla. Quindi, deve essere , ed esistono , e tali che:

Sfruttando nuovamente , si ha e che per qualche intero positivo si verifica:

Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di ha la forma . In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:

dove sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.

Se la condizione iniziale è:

si ottiene:

che è l'espansione in serie di seni di . Moltiplicando ambo i membri per e integrando nell'intervallo si ha:

Questo metodo richiede che le autofunzioni di , che in tal caso sono:

siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.

Caso non omogeneo[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri l'equazione non omogenea:

con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni , e possono essere espanse in serie di seni:

dove e possono essere calcolati per integrazione, mentre deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di e nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:

che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:

Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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