Metodo delle secanti

Le prime tre iterazioni del metodo delle secanti. La curva rossa è la funzione f(x), ed i segmenti blu sono le secanti. In questo caso si ha convergenza verso la radice.

Le prime due iterazioni del metodo delle secanti. La curva rossa è la funzione f(x), ed i segmenti blu sono le secanti. In questo caso non si ha convergenza verso la radice.

In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle secanti (o metodo delle secanti con estremi variabili) è uno dei metodi più semplici per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma $f(x)=0$. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo $[a,b]$ che contiene una sola radice.

Il metodo consiste nel costruire una successione di punti con il seguente criterio: assegnati due punti iniziali $x_{0},x_{1}$, per ogni $n\geq 1$ il punto $x_{n+1}$ sia lo zero della retta passante per i punti $(x_{n-1},f(x_{n-1})),(x_{n},f(x_{n}))$. Si ottiene

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}f(x_{n})$.

Rispetto al metodo delle corde, quello delle secanti richiede un punto iniziale in più e ad ogni passo il calcolo del rapporto che compare nella formula. Inoltre la convergenza è locale, cioè dipende dalla scelta dei punti iniziali $x_{0},x_{1}$; il guadagno è però una maggiore velocità di convergenza, che risulta superlineare.

Si dimostra infatti che, detta $\alpha$ la soluzione corretta, se $f\in C^{2}([a,b]),f''(\alpha )\neq 0$ e $x_{0},x_{1}$ sono abbastanza vicini ad $\alpha$,

allora il metodo converge con ordine

$p={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618$

Bibliografia

• Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Matematica numerica, Springer, 2008, ISBN 8847007828.

Voci correlate

• Calcolo di uno zero di una funzione
• Metodo delle corde
• Metodo delle tangenti
• Confronto tra metodo delle secanti e metodo delle tangenti

Collegamenti esterni

• Christian Ferrari, Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti. (PDF), su liceolocarno.ch. URL consultato il 16 dicembre 2010 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2016).