Metodo dei massimi e minimi di Fermat

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Nel 1637, Fermat, in un suo manoscritto dal titolo Methodus ad disquierendam maximam et minimam, propose un metodo per calcolare i massimi e minimi di una funzione . Il principio su cui egli si basava è molto vicino al concetto di derivata intesa come limite del rapporto incrementale, anche se al suo tempo il concetto di limite non era ancora noto. Il metodo proposto si basa sul presupposto che:

  • se una data funzione ha un massimo o un minimo nel punto , allora, scelta una quantità arbitrariamente piccola, la funzione valutata in , ossia , è approssimativamente uguale a .

In particolare si ha:

ed anche

Semplificando quest'ultima espressione in modo da eliminare il termine al denominatore, e successivamente ponendo , si ottiene un'equazione nell'incognita .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Dato un rettangolo di cui è noto il semiperimetro , si chiede di determinare gli spigoli e che rendano massima l'area .

RettangoloFermat.jpg

È noto che, per avere area massima, deve essere . Qui si vuole applicare il metodo dei massimi e minimi di Fermat per ottenere lo stesso risultato. In riferimento alla figura, detta l'ascissa del punto , l'area è data da:

Si scrive allora:

  • Si semplifica in modo da eliminare la al denominatore.
  • Si pone
  • Infine si ottiene:

che è il risultato atteso. Fermat applica questo metodo per determinare l'equazione della tangente a una curva in un dato punto . Questa applicazione è nota come metodo delle tangenti di Fermat

Metodo delle tangenti di Fermat[modifica | modifica wikitesto]

Nel manoscritto De tangentibus linearum curvarum, Fermat propone un'applicazione del suo metodo per determinare i massimi e minimi di una funzione , noto come "Metodo dei massimi e minimi di Fermat", per determinare la tangente, in un dato punto , a una linea curva di equazione .

Qui di seguito si ricostruisce la procedura proposta da Fermat.

Si consideri la curva concava mostrata in figura. L'obiettivo è determinare la tangente nel punto . Essa risulta definita, una volta nota la sottotangente cartesiana . Detta l'equazione della retta tangente nel punto , il metodo dei massimi e minimi si applica alla funzione:

(in figura si consideri il segmento ), che ha un minimo nel punto di tangenza. Per il metodo dei massimi e minimi, nel punto di minimo, si ha:

Inoltre, essendo , la precedente diventa:

Si cercherà quindi di scrivere quest'ultima espressione in modo tale da ottenere un'equazione in cui l'unica incognita è la sottotangente .

TangenteFermat.jpg

In riferimento alla figura, per il secondo dei criteri di similitudine, i triangoli e sono simili tra loro. Da cui si ha:

Dividendo per si ottiene:

A quest'ultima, infine, si applica la procedura per determinare il minimo di :

  1. si semplifica per eliminare il parametro al denominatore;
  2. si pone ;
  3. si ottiene così un'equazione nell'incognita , ossia la sottotangente cercata.

Altra interpretazione può essere la seguente: considerata l'ultima espressione trovata nel porre il denominatore uguale a otteniamo

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