Matrice nilpotente

In algebra lineare una matrice quadrata $A$ si dice nilpotente se esiste un intero non negativo $n$ tale che

$A^{n}=0.$

Il più piccolo $n$ per cui questo è vero è detto ordine (o indice) di nilpotenza di $A.$

Una matrice nilpotente ha tutti gli autovalori nulli, infatti, sia $\lambda$ un autovalore di $A$, allora esiste un vettore $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ (un autovettore di $A$) tale che $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$, da cui:

$A^{n}\mathbf {v} =\lambda ^{n}\mathbf {v} =\mathbf {0} ,$

siccome $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$, questo accade quando:

$\lambda ^{n}=0,$

da cui segue $\lambda =0.$ Di conseguenza una matrice nilpotente ha traccia e determinante nulli.

Esempi

La matrice

$M={\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}$

è nilpotente, infatti:

$M^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\2&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}=0.$

Anche la matrice seguente è nilpotente:

$M={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\2&2&0&0\\4&3&1&0\\\end{bmatrix}},$

infatti:

$M^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\2&0&0&0\\5&2&0&0\\\end{bmatrix}};$

$M^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\2&0&0&0\\\end{bmatrix}};$

$M^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}.$

Il blocco di Jordan di ordine $q$ associato all'autovalore $0$ è una matrice nilpotente con ordine di nilpotenza $q$:

$J={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

In generale, tutte le matrici triangolari $n\times n$ con ogni elemento sulla diagonale principale uguale a $0,$ sono nilpotenti di ordine $n$.

Non è vero però che le matrici nilpotenti siano necessariamente triangolari. Ad esempio, la seguente matrice $3\times 3$ non è triangolare ma è nilpotente di ordine $2$:

$M={\begin{bmatrix}0&3&0\\0&0&0\\0&9&0\\\end{bmatrix}},$

infatti:

$M^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}.$

Proprietà

Ordine di nilpotenza

Se $A$ è una matrice di ordine $n$ nilpotente di ordine $k$, allora $1\leq k\leq n$.

Dimostrazione

Siccome $A$ è nilpotente di ordine $k$ si ha $A^{k}=0$, per il teorema di Hamilton-Cayley si ha che $A$ soddisfa il suo polinomio caratteristico $\chi _{A}(t)$. Siccome $\deg(\chi _{A}(t))=n$ e $A^{k}=0$ si ha $\chi _{A}(t)=t^{n}$ e $A^{n}=0$ (per Hamilton-Cayley), e quindi $1\leq k\leq n$.

Matrici simili e nilpotenti

Tutte le matrici simili a una matrice nilpotente sono a loro volta nilpotenti.

Dimostrazione

Si considerino due matrici simili $A$ e $B$ con $A$ nilpotente di ordine $n.$ In quanto simili, esiste una matrice invertibile $P$ tale che $B=P^{-1}AP$. Allora

$B^{n}=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots (P^{-1}AP)$

$=P^{-1}A(PP^{-1})A(PP^{-1})\cdots (PP^{-1})AP$

$=P^{-1}A^{n}P=P^{-1}0P=0.$

Quindi anche $B$ è nilpotente.

Endomorfismi nilpotenti

Consideriamo uno spazio vettoriale $V$, definito su un campo e di dimensione $n$, e sia $f\colon V\to V$ un endomorfismo, allora possiamo rappresentare $f$ tramite una matrice quadrata di ordine $n$, sia essa $A$. Diciamo che $f$ è un endomorfismo nilpotente di ordine $k$ se e solo se lo è la matrice rappresentativa $A$.

Bibliografia

• Paolo Dulio, Walter Pacco, Algebra lineare e geometria analitica, Società Editrice Esculapio, ISBN 978-88-7488-838-2.