Matrice hamiltoniana

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In matematica, una matrice hamiltoniana è una qualsiasi matrice reale di dimensioni tale che è simmetrica, ove è una matrice antisimmetrica

e è la matrice identità di dimensioni . In altre parole, è hamiltoniana se e solo se

Nello spazio vettoriale di tutte le matrici , le matrici di Hamilton Hamiltonian formano un Sottospazio vettoriale di dimensione .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Sia una matrice a blocchi di dimensioni data da
in cui , , , e sono matrici . Quindi è una matrice Hamiltoniana se le matrici e sono simmetriche, e .
  • La matrice trasposta di una matrice hamiltoniana è hamiltoniana.
  • La traccia di una matrice hamiltoniana è nulla.
  • Il commutatore di due matrici hamiltoniane è hamiltoniano.
  • Gli autovalori di una matrice hamiltoniana sono simmetrici rispetto all'asse immaginario.
  • Lo spazio di tutte le matrici hamiltoniane è un'algebra di Lie [1].

Operatore hamiltoniano[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale fornito di una forma simplettica . Una mappa lineare è detta operatore hamiltoniano rispetto ad se la forma è simmetrica. Equivalentemente, deve soddisfare

Si scelga una base in , tale che è definibile come . Un operatore lineare è hamiltoniano rispetto a se e solo se la sua matrice in questa base è hamiltoniana[2].

Da questa definizione, seguono le proprietà:

Una radice di una matrice hamiltoniana è anti-hamiltoniana.
L'esponenziale di una matrice hamiltoniana è simplettica.
Il logaritmo di una matrice simplettica è hamiltoniano.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Alex J. Dragt, The symplectic group and classical mechanics, in Annals of the New York Academy of Sciences, vol. 1045, nº 1, 2005, pp. 291–307, DOI:10.1196/annals.1350.025..
  2. ^ William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, in Linear Algebra and its Application, vol. 396, 2005, pp. 385–390, DOI:10.1016/j.laa.2004.10.003..

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) K. R. Meyer e G. R. Hall, Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem, Springer, 1991, pp. 34–35, ISBN 0-387-97637-X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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