Matrice di Vandermonde

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In algebra lineare con matrice di Vandermonde si indica una matrice le cui righe (oppure le cui colonne) hanno elementi, a partire da 1, in progressione geometrica: (oppure la trasposta ). Prende il nome dal matematico francese Alexandre-Théophile Vandermonde.

Determinante[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice quadrata di Vandermonde di ordine n ha determinante

cioè è il prodotto di tutte le possibili differenze (contate una volta sola, con segno opportuno) tra i coefficienti.

Da quest'espressione per il determinante segue che le matrici quadrate di Vandermonde hanno determinante nullo solo se hanno due coefficienti uguali, ovvero due righe uguali. In particolare, il rango di una generica matrice di Vandermonde è il minimo tra il numero di colonne e il numero di distinti coefficienti (ovvero di righe distinte).

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Questa formula si dimostra per induzione sull'ordine n.
Vale per n=1 (prodotto vuoto).
Per il passo induttivo, supponendo vera la formula per l'ordine n-1, il determinante di una matrice di Vandermonde di ordine n può essere calcolato

  • sottraendo ad ogni colonna la colonna precedente moltiplicata per α1

  • dividendo ogni riga j-esima (tranne la prima) per il termine , portandolo fuori dalla matrice

  • infine applicando la formula del determinante per una matrice di Vandermonde di ordine n-1

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Il determinante di V è chiaramente un polinomio sui coefficienti α1, ..., αn, e si annulla quando due righe sono uguali, ovvero quando αij. Ne consegue che il determinante è pari a un polinomio P(α1, ..., αn) moltiplicato per ; secondo la classica formula di Leibniz, il grado del determinante su ogni variabile è n-1, quindi il polinomio P è una costante Pn. Che questa costante sia esattamente 1 si può dimostrare per induzione, confrontando i coefficienti di αnn-1 ottenuti secondo la formula del determinante e secondo l'ipotesi induttiva.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici di Vandermonde descrivono i problemi di interpolazione polinomiale: i coefficienti di un polinomio il cui grafico nel piano passa per i punti sono le soluzioni del sistema lineare

Le matrici di Vandermonde e i loro determinanti sono utilizzati per la formula di Frobenius, per le proprietà dei codici BCH, per l'interpolazione di Hermite, per la trasformata di Fourier discreta e per diagonalizzare le matrici compagne di un polinomio.

Le matrici di Vandermonde sono mal condizionate.

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