Matrice di Cartan

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In matematica, il termine matrice di Cartan ha due significati, entrambi ricondotti al matematico francese Élie Joseph Cartan (1869-1951). Tale termine viene assunto come esempio di legge dell'eponimia di Stigler: infatti le matrici di Cartan nel contesto delle algebre di Lie furono inizialmente studiate dal matematico tedesco Wilhelm Killing, mentre il cosiddetto modello di Killing è dovuto ad Élie Cartan.

Algebre di Lie[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice di Cartan generalizzata è una matrice quadrata    con entrate numeri interi tali che

  1. per entrate diagonali  
  2. per entrate non diagonali  
  3.  se e solo se  
  4.  può essere scritta come  ,  dove    è una matrice diagonale, e    è una matrice simmetrica.

La terza condizione non è indipendente, poiché è una conseguenza della prima e della quarta condizione.

È sempre possibile scegliere una matrice     con entrate diagonali positive. In tal caso, se    nella summenzionata scomposizione è una matrice definita positiva, allora   è detta matrice di Cartan.

La matrice di Cartan di una algebra di Lie semplice è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari

dove    sono le radici semplici dell'algebra. Le entrate sono integrate da una delle proprietà delle radici. La prima condizione segue dalla definizione, la seconda dal fatto che per  ,    è una radice che è una combinazione lineare delle radici semplici   ri  e   rj  con un coefficiente positivo per   ri  e quindi il coefficiente per   ri  deve essere non negativo. La terza è vera perché l'ortogonalità è una relazione simmetrica. E infine, siano    e  . Poiché le radici semplici si estendono in uno spazio euclideo, la matrice    è definita positiva.

Rappresentazione delle algebre a dimensione finita[modifica | modifica wikitesto]

Nella teoria delle rappresentazioni modulari, e più in generale nella teoria delle rappresentazioni delle algebre di dimensioni finite    che sono non semisemplici, una matrice di Cartan viene definita considerando un numero (limitato) di moduli non scomponibili e scrivendo serie di componenti per essi in termini di moduli proiettivi, ottenendo una matrice di interi che contano il numero di eventi di un modulo proiettivo.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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