Matrice compagna

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In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n:

è la matrice quadrata di ordine n avente sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di , cambiati di segno, sull'ultima riga:

Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di , cambiati di segno, sull'ultima colonna:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • La matrice compagna di ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a ; i suoi autovalori sono le radici di .
  • Per ogni radice di , il vettore è un autovettore di con autovalore . In particolare, se tutte le radici di sono distinte allora è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde.
  • Per ogni campo la matrice esprime la moltiplicazione per sull'anello , espresso come spazio vettoriale su con la base . In particolare, se è irriducibile su e è una sua radice, esprime la moltiplicazione per sul campo .
  • Se è una matrice su un campo , sono equivalenti gli enunciati:
    • è simile alla matrice compagna su del proprio polinomio caratteristico;
    • il polinomio caratteristico di è uguale al suo polinomio minimo;
    • esiste un vettore tale che è una base di .

Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice blocchi diagonale di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1985, pp. 146–147, ISBN 0-521-30586-1. URL consultato il 10 febbraio 2010.
  • (EN) Richard E. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994 .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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