Lituo (matematica)

La spirale

Il lituo è un tipo di spirale archimedea in cui (in coordinate polari) l'anomalia $\theta$ è inversamente proporzionale al quadrato del raggio vettore $r.$

$r^{2}\theta =k,$

con $k$ costante reale non nulla. Esso è asintotico alla retta di equazione $\theta =0$ (l'asse delle $x$ in coordinate cartesiane) e si avvicina asintoticamente all'origine degli assi.

Il lituo è composto da due rami, uno corrispondente ai valori positivi di $r$ e l'altro corrispondente ai valori negativi.

Storia

Il professore di Cambridge Roger Cotès (1682-1716) fu il primo a studiare la curva. Il suo lavoro è stato pubblicato solo dopo la sua morte. Fu però il matematico scozzese Colin Maclaurin a dare alla curva il suo nome nel suo libro "Harmonia Mensurarum" (1722) usando la rassomiglianza della curva con un pastorale (in latino lituus).

Proprietà

Poiché l'area del settore circolare è:

$A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta ,$

Costanza dell'area dei settori circolari

è facile vedere come una definizione alternativa del lituo è: il luogo dei punti individuato da un punto $P$ che si muove in modo tale che l'area di un settore circolare di raggio $OP,$ con $O$ origine degli assi cartesiani, rimane costante all'aumentare dell'angolo. Cioè, supponiamo che $M_{1}$ sia un punto sulla curva, e $M_{2}$ un punto posto sull'asintoto a distanza $OM_{1}$ dall'origine $O.$ Allora l'area del settore circolare $OM_{1}M_{2}$ rimane costante mentre $M_{1}$ si sposta verso il centro sulla curva. Un'immagine chiarificatrice è qui a destra.

La curva ha punti di flesso in $(\theta ,r)=\left({\frac {1}{2}},k{\sqrt {2}}\right)$ e $(\theta ,r)=\left({\frac {1}{2}},-k{\sqrt {2}}\right)$ dove $k$ è la costante della curva

La curvatura $K$ e l'angolo tangente $\phi$ sono date da:

$K(\theta )=(8\theta ^{2}-2)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}},$

$\phi (\theta )=\theta -\arctan(2\theta ).$

Coordinate cartesiane

Il ramo della curva corrispondente ai valori positivi di $r$ può anche essere rappresentato in coordinate cartesiane nel seguente modo:

${\begin{cases}x=r\cos \theta ={\sqrt {\frac {k}{\theta }}}\cos \theta \\y=r\sin \theta ={\sqrt {\frac {k}{\theta }}}\sin \theta \\\end{cases}}$

Voci correlate

• Spirale
• Spirale archimedea
• Spirale aurea
• Spirale di Fermat
• Spirale iperbolica
• Spirale logaritmica

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