Lista di frattali per dimensione di Hausdorff

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In matematica, un frattale è un oggetto geometrico in cui la dimensione di Hausdorff (δ) è strettamente superiore alla dimensione topologica. Qui di seguito è presentata una lista di frattali per dimensione di Hausdorff crescente, con lo scopo di visualizzare che cosa significhi per un frattale possedere una dimensione bassa o alta.

Frattali deterministici[modifica | modifica sorgente]

δ
(valore esatto)
δ
(valore approssimato)
Nome Illustrazione Commenti
\textstyle{\frac {ln(2)} {ln(\delta_F)}} 0.4498 Biforcazioni dell'equazione logistica Logistic map bifurcation diagram.png Nel diagramma di biforcazione, all'avvicinarsi di ciascuna regione caotica, appare una successione di raddoppiamenti di periodo, in una progressione geometrica tendente a 1/δ. (δF=costante di Feigenbaum=4.6692).
\textstyle{\frac {ln(2)} {ln(3)}} 0.6309 Insieme di Cantor Cantor set in seven iterations.svg Costruito eliminando la terza parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, né numerabile.
\textstyle{\frac {ln(6)} {ln(8)}} 0.8617 Insieme di Smith-Volterra-Cantor Smith-Volterra set2.png Costruito eliminando la quarta parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, ma avente misura di Lebesgue ½.
\textstyle{\frac {ln(8)} {ln(7)}} 1.0686 Isola di Gosper Ile de Gosper.gif
1.26 Attrattore di Hénon Henon attractor.png L'attrattore di Hénon canonico (con parametri a = 1.4 and b = 0.3) possiede dimensione di Haussdorf δ = 1.261 ± 0.003. Parametri differenti conducono a differenti valori di δ.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(3)}} 1.2619 Curva di Koch Koch curve.svg 3 di queste curve formano il fiocco o l'antifiocco di Koch.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(3)}} 1.2619 Bordo della Curva Terdragon, Fudgeflake Terdragon boundary.png L-System: simile alla curva del drago con un angolo di 30°. La Fudgeflake è costruita giustapponendo i 3 segmenti iniziali a formare un triangolo.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(3)}} 1.2619 Polvere di Cantor in 2D Carre cantor.gif Insieme di Cantor in due dimensioni .
1.3057 Setaccio di Apollonio Apollonian gasket.gif
\textstyle{\frac {ln(5)} {ln(3)}} 1.4649 Scatola frattale Box fractal.svg Costruito sostituendo iterativamente ciascun quadrato con una croce di 5 quadrati.
\textstyle{\frac {ln(5)} {ln(3)}} 1.4649 Curva di Koch quadratica (tipo 1) Quadratic Koch 2.png In esso ritroviamo il motivo della scatola frattale (vedi sopra), costruito diversamente.
\textstyle{\frac {ln(8)} {ln(4)}} 1.5000 Curva di Koch quadratica (tipo 2) Quadratic Koch.png Chiamata anche "Salsiccia di Minkowski".
1.5236 Bordo della Curva del Drago Boundary dragon curve.png Cf. Chang & Zhang[1]
\textstyle{\frac {ln(3)} {ln(2)}} 1.5850 Albero a 3 rami Arbre 3 branches.pngArbre 3 branches2.png Ogni ramo si divide in altri 3 rami. (qui i casi a 90° e 60°). La dimensione frattale dell'intero albero è quella dei rami terminali. NB: l'albero a 2 rami possiede dimensione frattale 1.
\textstyle{\frac {ln(3)} {ln(2)}} 1.5850 Triangolo di Sierpinski SierpinskiTriangle.PNG Esso è anche il triangolo di Pascal modulo 2.
\textstyle{\frac {ln(3)} {ln(2)}} 1.5850 Curva di Sierpinski a punta di freccia PfeilspitzenFraktal.PNG Stesso limite del triangolo di Sierpinski (vedi sopra), ma ottenuto per iterazione di costruito con una curva unidimensionale.
\textstyle{1+log_3(2)} 1.6309 Triangolo di Tartaglia modulo 3 Pascal triangle modulo 3.png In generale, per un triangolo modulo k, se k è primo, la dimensione frattale è \scriptstyle{1 + log_k(\frac{k+1}{2})}(Cf.Stephen Wolfram[2])
\textstyle{1+log_5(3)} 1.6826 Triangolo di Tartaglia modulo 5 Pascal triangle modulo 5.png Come sopra.
\textstyle{\frac {ln(7)} {ln(3)}} 1.7712 Fiocco esagonale Flocon hexagonal.gif Costruito sostituendo iterativamente ogni esagono con un fiocco di 7 esagoni. Il suo bordo è il fiocco di Koch. Contiene infiniti fiocchi di Koch (bianchi e neri).
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2(1+cos(85^\circ))}} 1.7848 Curva di Koch a 85°, Frattale di Cesàro Koch Curve 85degrees.png Generalizzazione della curva di Koch con un angolo a scelta tra 0 e 90°. La dimensione frattale è allora \scriptstyle{\frac{ln(4)}{ln(2(1+cos(a))}}. Il Frattale di Cesàro è basato su questo motivo.
\textstyle{\frac {ln(6)} {ln(1+\phi)}} 1.8617 Fiocco pentagonale Penta plexity.png Costruito sostituendo iterativamente ogni pentagono con un fiocco di 6 pentagoni. \phi = sezione aurea = \scriptstyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
\textstyle{\frac {ln(8)} {ln(3)}} 1.8928 Tappeto di Sierpinski Sierpinski6.png
\textstyle{\frac {ln(8)} {ln(3)}} 1.8928 Polvere di Cantor in 3D Cube Cantor.png Insieme di Cantor in 3 dimensioni.
Estimated 1.9340 Bordo della Curva di Lévy LevyFractal.png Stimato da Duvall and Keesling (1999). La curva di per se stessa possiede dimensione frattale 2.
1.974 Tassellatura di Penrose Pen0305c.gif Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[3]
\textstyle{2} 2 Insieme di Mandelbrot Mandelbrot-similar1.png Qualsiasi oggetto piano contenente un disco possiede dimensione di Hausdorff δ = 2. Il bordo dell'insieme di Mandelbrot possiede ugualmente dimensione di Hausdorff δ = 2.
\textstyle{2} 2 Curva di Sierpiński Sierpinski-Curve-3.png Ogni curva che riempie il piano possiede dimensione di Hausdorff 2.
\textstyle{2} 2 Curva di Hilbert Hilbert-Curve-3.png Costruita in maniera simile: la curva di Moore
\textstyle{2} 2 Curva di Peano Peano curve.png E una famiglia di curve costruite in maniera simile, come per esempio le curve di Wunderlich o le curve di Moore.
2 Lebesgue curve or z-order curve Z-order curve.png Contrariamente alle curve precedenti, questa è quasi ovunque differenziabile.
\textstyle{\frac {ln(2)} {ln(\sqrt{2})}} 2 Curva del Drago Courbe du dragon.png Il suo bordo possiede dimensione frattale 1,5236 (Cf.Chang & Zhang[1]).
2 Curva Terdragon Terdragon curve.png L-System : F-> F+F-F. angolo=120°.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 T-Square T-Square fractal (evolution).png
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 Curva di Peano-Gosper Gosper curve 3.png Il suo bordo è l'Isola di Gosper.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 Tetraedro di Sierpinski Tetraedre Sierpinski.png
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 H-fractal H fractal2.png Ugualmente, l'albero di Mandelbrot, che ha una struttura simile.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 2D greek cross fractal Ogni segmento è sostituito da una croce formata da 4 segmenti.
2.06 Attrattore di Lorenz Lorenz attractor.png Per precisi valori dei parametri dell'attrattore.
\textstyle{\frac {ln(20)} {ln(2+\phi)}} 2.3296 Dodecaedro frattale Dodecaedron fractal.jpg Ogni dodecaedro è sostituito da 20 dodecaedri.
\textstyle{\frac {ln(13)} {ln(3)}} 2.3347 Superficie di Koch quadratica (tipo 1) in 3D Quadratic Koch 3D (type1).png Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica (tipo 1). L'illustrazione mostra la seconda iterazione.
2.4739 Interstizi delle sfere di Apollonio Apollonian spheres.jpg Setaccio di Apollonio in 3 dimensioni. Imita la mollica di pane o la spugna. Dimensione calcolata da M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert[4].
\textstyle{\frac {ln(32)} {ln(4)}} 2.50 Superficie di Koch quadratica (tipo 2) in 3D Quadratic Koch 3D.png Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica(tipo 2). L'illustrazione mostra la prima iterazione.
\textstyle{\frac {ln(16)} {ln(3)}} 2.5237 Ipercubo di Cantor Insieme di Cantor in 4 dimensioni. In generale, in uno spazio di dimensione n, l'insieme di Cantor possiede dimensione di Hausdorff \scriptstyle{n\frac{ln(2)}{ln(3)}}
\textstyle{\frac {ln(12)} {ln(1+\phi)}} 2.5819 Icosaedro frattale Icosaedron fractal.jpg Ogni icosaedro è sostituito da 12 icosaedri.
\textstyle{\frac {ln(6)} {ln(2)}} 2.5849 Frattale a croce greca in 3D Greek cross 3D.png Ogni segmento è sostituito con una croce formata da 6 segmenti. Estensione tridimensionale della croce in due dimensioni.
\textstyle{\frac {ln(6)} {ln(2)}} 2.5849 Ottaedro frattale Octaedron fractal.jpg Ogni ottaedro è sostituito da 6 ottaedri.
\textstyle{\frac {ln(20)} {ln(3)}} 2.7268 Spugna di Menger Menger sponge (IFS).jpg La sua superficie possiede dimensione frattale \scriptstyle{\frac{ln(20)}{ln(3)} = 2.7268}.
\textstyle{\frac {ln(8)} {ln(2)}} 3 Curva di Hilbert in 3D Hilbert512.gif Estensione tridimensionale della curva di Hilbert.

Frattali casuali e naturali[modifica | modifica sorgente]

δ
(valore esatto)
δ
(valore approssimato)
Nome Illustrazione Commenti
Misurato 1.24 Costa della Gran Bretagna Gb4dot.svg
\textstyle{\frac {4}{3}} 1.33 Bordo del moto browniano Front mouvt brownien.png (Cf Gregory Lawler, Oden Schramm et Wendelin Werner[5]).
\textstyle{\frac {4}{3}} 1.33 Polimero 2D Simile al moto browniano in 2D senza auto-intersezioni. (Cf Sapoval[6]).
Misurato 1.52 Costa della Norvegia Norgeskart.png
Misurato 1.55 Camminata casuale senza intersezioni Polymer 2D.png Camminata casuale all'interno di un quadrato, con algoritmo di "ritorno" per evitare vicoli ciechi.
\textstyle{\frac {5} {3}} 1.66 Polimero 3D Simile al moto browniano all'interno di un cubo, ma senza auto-intersezioni (Cf Sapoval[6]).
\textstyle{2} 2 Moto browniano Mouvt brownien2.png O camminata casuale. Le dimensioni di Hausdorff sono uguali a 2 in 2D, in 3D e in tutte le altre dimensioni (K.Falconer "The geometry of fractal sets").
\textstyle{\frac {ln(13)} {ln(3)}} 2.33 Cavolfiore Blumenkohl-1.jpg Ogni ramo porta 13 rami 3 volte più piccoli.
2.97 Superficie polmonare Thorax Lung 3d (2).jpg Gli alveoli di un polmone formano una superficie frattale di dimensione vicina a 3 (Cf Sapoval[6]).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Dimensione frattale della curva del drago
  2. ^ Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984)[1]
  3. ^ P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [2] (PDF)
  4. ^ M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [3] (PDF)
  5. ^ G. F. Lawler, O. Schramm, W. Werner, The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [4] (PDF)
  6. ^ a b c Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, collection Champs (2001), ISBN 2080814664

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • 1Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990)
  • Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (September 1982).
  • Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0 (August 1988)
  • Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0
  • Bernard Sapoval, « Universalités et fractales », collection Champs, Flammarion.

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