Lemma di Artin-Rees

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In matematica, il lemma di Artin-Rees (o teorema di Artin-Rees) è un teorema della teoria dei moduli su anelli noetheriani. Prende nome da Emil Artin e David Rees, che lo dimostrarono indipendentemente negli anni cinquanta.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello commutativo unitario noetheriano, un ideale di , un -modulo finitamente generato, una -filtrazione stabile di (ovvero una successione di sottomoduli di tale che ), un sottomodulo di . Allora:

  1. è una -filtrazione stabile di .
  2. Esiste un tale che per ogni

In particolare, le successioni e hanno differenza limitata, ovvero esiste un tale che e .

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

La prima conseguenza del lemma di Artin-Rees è che, se è un modulo finitamente generato e un suo sottomodulo, allora la topologia -adica su coincide con la topologia di sottospazio indotta dalla topologia -adica su . Da questo segue che il completamento preserva le successioni esatte di moduli finitamente generati, ovvero che il completamento è un funtore esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.

Il lemma di Artin-Rees, inoltre, può essere usato per dimostrare il teorema dell'intersezione di Krull.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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