Iterazione di punto fisso

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In analisi numerica, l'iterazione di punto fisso o iterazione funzionale è un metodo per trovare le radici di una funzione, ovvero per risolvere un'equazione nella forma f(x) = 0.

Se f,g : \R \to \R sono due funzioni tali che g(x)=x - f(x), allora si ha f(\alpha)= 0 se e solo se g(\alpha) = \alpha, cioè \alpha è radice di f se e solo se è punto fisso di f. Il metodo consiste nel risolvere l'equazione g(x)=x dove la generica espressione di g è:

g(x) = x - f(x) + F(f(x)) \qquad F(0) =0

Si vede quindi che g, ovvero la funzione di iterazione, può essere scelta in vari modi. Ad esempio se f(x) = x^{2} + x +1 si può scegliere:

g(x) = -x^{2} -1 \qquad g(x)= -1 -\frac{1}{x} \dots

La soluzione si approssima (scelto un punto x_0 iniziale) con la successione:

x_{n+1} = g(x_{n})

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La convergenza del metodo è garantita sotto determinate ipotesi da alcuni risultati teorici.

In primo luogo, se esiste un intervallo [a,b] tale che:

  •  g: [a,b] \rightarrow [a,b]
  •  g \in C^1([a,b])
  •  |g'(x)| < 1 \; \forall x \in [a,b]

allora g ha un unico punto fisso in [a,b] (è una contrazione) e se x_0 \in [a,b] la successione sopra definita converge ad esso linearmente.

Tuttavia non è sempre facile determinare un intervallo siffatto. Se però si conosce bene il comportamento di g nei pressi del punto fisso, si può sfruttare il teorema di Ostrowski. Se:

  • g \in C^1(I), dove I è un intorno del punto fisso \alpha
  •  |g'(\alpha)|<1

allora \exists \delta > 0 tale che se |x_0 - \alpha| < \delta la successione converge ad \alpha. Si noti che se la seconda ipotesi non è verificata, o c'è divergenza o non si può dir nulla (nel caso dell'uguaglianza). La velocità di convergenza aumenta con l'ordine di derivabilità.

Altri metodi[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo delle corde e quello di Newton si possono vedere come casi particolari dell'iterazione di punto fisso, usando come funzioni di iterazione rispettivamente:

g(x) = x - \frac{b-a}{f(b)-f(a)}f(x)
g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 3rd, PWS Publishers, 1985, ISBN 0-87150-857-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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