Iterazione di punto fisso

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In analisi numerica, l'iterazione di punto fisso o iterazione funzionale è un metodo per trovare le radici di una funzione, ovvero per risolvere un'equazione nella forma .

Se sono due funzioni tali che , allora si ha se e solo se , cioè è radice di se e solo se è punto fisso di . Il metodo consiste nel risolvere l'equazione dove la generica espressione di è:

Si vede quindi che , ovvero la funzione di iterazione, può essere scelta in vari modi. Ad esempio se si può scegliere:

La soluzione si approssima (scelto un punto iniziale) con la successione:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La convergenza del metodo è garantita sotto determinate ipotesi da alcuni risultati teorici.

In primo luogo, se esiste un intervallo tale che:

allora ha un unico punto fisso in (è una contrazione) e se la successione sopra definita converge ad esso linearmente.

Tuttavia non è sempre facile determinare un intervallo siffatto. Se però si conosce bene il comportamento di nei pressi del punto fisso, si può sfruttare il teorema di Ostrowski. Se:

  • , dove è un intorno del punto fisso

allora tale che se la successione converge ad . Si noti che se la seconda ipotesi non è verificata, o c'è divergenza o non si può dir nulla (nel caso dell'uguaglianza). La velocità di convergenza aumenta con l'ordine di derivabilità.

Altri metodi[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo delle corde e quello di Newton si possono vedere come casi particolari dell'iterazione di punto fisso, usando come funzioni di iterazione rispettivamente:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 3rd, PWS Publishers, 1985, ISBN 0-87150-857-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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