Iterazione di punto fisso

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In analisi numerica, l'iterazione di punto fisso o iterazione funzionale è un metodo per trovare le radici di una funzione, ovvero per risolvere un'equazione nella forma \,f(x) = 0.

Notiamo infatti che se \,f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sono due funzioni tali che \,g(x)=x - f(x) si ha

f(\alpha)= 0 \Leftrightarrow g(\alpha) = \alpha

cioè \alpha è radice di f se e solo se è punto fisso di g. Quindi il metodo consiste nel risolvere l'equazione \,g(x)=x dove la generica espressione di g è

g(x) = x - f(x) + F(f(x)) \, ; \, F(0) =0.

Si vede quindi che g - la funzione di iterazione - può essere scelta in vari modi. Ad esempio se f(x) = x^{2} + x +1 si può scegliere g(x) = -x^{2} -1 \, , \, g(x)= -1 -\frac{1}{x} ...

La soluzione si approssima - scelto un punto \,x_0 iniziale - con la successione

\,x_{n+1} = g(x_{n}).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La convergenza del metodo è garantita sotto determinate ipotesi da alcuni risultati teorici.

Intanto se esiste un intervallo \,[a,b] tale che

i) g: [a,b] \rightarrow [a,b]

ii) g \in C^1([a,b])

iii) |g'(x)| < 1 \; \forall x \in [a,b]

allora g ha un unico punto fisso in \,[a,b] (è una contrazione) e se \, x_0 \in [a,b] la successione sopra definita converge ad esso linearmente.

Tuttavia non è sempre facile determinare un intervallo siffatto. Se però si conosce bene il comportamento di g nei pressi del punto fisso, si può sfruttare il teorema di Ostrowski: se

i) g \in C^1(I) dove I è un intorno del punto fisso \alpha

\,ii) |g'(\alpha)|<1

allora \exists \delta > 0 tale che se |x_0 - \alpha| < \delta la successione converge ad \alpha. Si noti che se l'ipotesi ii) non è verificata, o c'è divergenza o non si può dir nulla (nel caso dell'uguaglianza). La velocità di convergenza aumenta con l'ordine di derivabilità.

Altri metodi[modifica | modifica sorgente]

Il metodo delle corde e quello di Newton si possono vedere come casi particolari dell'iterazione di punto fisso, usando come funzioni di iterazione rispettivamente

g(x) = x - \frac{b-a}{f(b)-f(a)}f(x)

g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}


Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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