Intersezione (insiemistica)

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In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'intersezione (simbolo ) di due insiemi e è l'insieme degli elementi che appartengono sia all'insieme che all'insieme contemporaneamente.

L'intersezione è una operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore AND e, in logica, alla congiunzione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'intersezione di due insiemi e si denota comunemente con . Quindi è un elemento di se e solo se è un elemento degli insiemi e contemporaneamente, in simboli:

Più in generale, data una famiglia qualsiasi di insiemi, l'intersezione è definita come quell'insieme a cui un elemento appartiene se e solo se appartiene ad ognuno degli .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Diagramma di Eulero-Venn per l'intersezione.
Intersezione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

Dalla definizione segue immediatamente che l'intersezione è un'operazione commutativa, in simboli:

Infatti

L'intersezione è inoltre un'operazione associativa:

Infatti

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'intersezione di più di due insiemi, scrivendo semplicemente .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Come esempio elementare si devono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) e . In questo caso si può verificare direttamente per ogni elemento di se è anche elemento di (o viceversa), ottenendo

Un esempio un po' più astratto è dato da due insiemi definiti tramite determinate proprietà dei loro elementi: siano l'insieme dei numeri interi divisibili per e l'insieme dei numeri interi divisibili per . In questo caso, è l'insieme dei numeri interi divisibili sia per che per , ovvero tutti i numeri interi divisibili per .

Gli insiemi dei numeri pari e dei numeri dispari sono disgiunti; infatti un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari. L'intersezione di questi due insiemi è quindi l'insieme vuoto.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Thomas Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald Rivest, Sets, Etc., in Introduction to Algorithms, 20ª ed., Cambridge, Massachusetts, The MIT Press, 1998.

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