Interpretazione (logica)

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Un'interpretazione è l'assegnazione di un significato ai simboli di un linguaggio formale. Molti linguaggi formali usati in matematica, logica e informatica teorica sono definiti esclusivamente in termini sintattici e come tali non hanno alcun significato fino a quando non vengono interpretati. Lo studio generale delle interpretazioni dei linguaggi formali è chiamato semantica formale.

Le logiche formali più comunemente studiate sono la logica proposizionale, la logica dei predicati (e i loro analoghi modali), per le quali esistono modi standard di attribuire un'interpretazione. In questi contesti l'interpretazione è una funzione che fornisce l'estensione di simboli e stringhe di simboli di un linguaggio in oggetto. Ad esempio, una funzione di interpretazione potrebbe prendere il predicato A (per "alto") e assegnargli l'estensione { a } (per "Alice"). Si noti che tutto ciò che questa interpretazione fa è assegnare l'estensione {a} alla costante non logica A, e non afferma che A stia per "alto" e a per Alice.

Un'interpretazione spesso (ma non sempre) fornisce un modo per determinare i valori di verità delle formule in un linguaggio. Se una data interpretazione assegna il valore "vero" a una proposizione o teoria, l'interpretazione è chiamata modello di quella proposizione o teoria.

Il concetto di interpretazione è fondamentale per definire la soddisfacibilità di una formula, ovvero l'esistenza di almeno un modello per la stessa.[1]

Linguaggi formali[modifica | modifica wikitesto]

Un linguaggio formale consiste in un insieme possibilmente infinito di proposizioni costruito da un insieme fisso di lettere o simboli. L'inventario da cui vengono prese queste lettere è chiamato alfabeto su cui è definita la lingua.[1] Per distinguere le stringhe di simboli che appartengono ad un linguaggio formale da stringhe arbitrarie di simboli, le prime sono talvolta chiamate formule ben formate (FBF).[1] La caratteristica essenziale di un linguaggio formale è che la sua sintassi può essere definita senza riferimento all'interpretazione. Ad esempio, possiamo determinare che è una formula ben formata anche senza sapere se è vera o falsa.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Un linguaggio formale può essere definito con l'alfabeto e con una parola (detta appartenente a ) se essa inizia con ed è composta esclusivamente dai simboli contenuti in ( e ).

Una possibile interpretazione di potrebbe assegnare la cifra decimale "1" a e da "0" a . Poi denoterebbe 101 sotto questa interpretazione di .

Costanti logiche[modifica | modifica wikitesto]

Nei casi specifici di logica proposizionale e logica dei predicati, i linguaggi formali considerati hanno alfabeti che si dividono in due insiemi: i simboli logici (costanti logiche) e i simboli non logici. L'idea alla base di questa terminologia è che i simboli logici hanno lo stesso significato indipendentemente dal campo di studio, mentre i simboli non logici possono assumere significati diversi in base all'argomento trattato.

Le costanti logiche includono simboli quantificatori ∀ (universale) e ∃ (esistenziale), simboli per connettivi logici ∧ ("e"), ∨ ("o"), ¬ ("non"), parentesi e altri simboli di raggruppamento, e (in alcuni acsi) il simbolo di uguaglianza =.

Semantica dei connettivi logici[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di interpretazione risulta utile, ad esempio, per definire la semantica degli operatori logici. In questo contesto, l'interpretazione di un simbolo è una funzione che, dato un certo simbolo, ritorna un valore "vero" o "falso".

Ecco come definiamo i connettivi logici nella logica proposizionale:

  • ¬Φ è vero se e solo se Φ è falso.
  • (Φ ∧ Ψ) è vero se e solo se Φ è vero e Ψ è vero.
  • (Φ ∨ Ψ) è vero se e solo se Φ è vero o Ψ è vero (o entrambi sono veri).
  • (Φ → Ψ) è vero se e solo se Φ è falso o Ψ è vero (o entrambi sono veri).
  • (Φ ↔ Ψ) è vero se e solo se (Φ → Ψ) è vero e (Ψ → Φ) è vero.

Quindi, data una certa interpretazione delle lettere Φ e Ψ (cioè, dopo aver assegnato un valore di verità a ciascuna lettera della proposizione), possiamo determinare i valori di verità di tutte le formule contenenti le due lettere, in funzione dei connettivi logici utilizzati. Nella tabella seguente, la seconda e la terza colonna mostrano i valori di verità delle lettere (con tutte e quattro le possibili interpretazioni). Le altre colonne mostrano i valori di verità delle formule costruite con queste lettere.

Connettivi logici
Interpretazione Φ Ψ ¬Φ (Φ ∧ Ψ) (Φ ∨ Ψ) (Φ → Ψ) (Φ ↔ Ψ)
# 1 T T F T T T T
# 2 T F F F T F F
# 3 F T T F T T F
# 4 F F T F F T T

Ora risulta più semplice controllare cosa rende una formula logicamente valida. Prendamo la formula . Se la nostra funzione di interpretazione rende Φ vero, allora ¬Φ è reso falso dal connettivo di negazione. Poiché la disgiunzione Φ di F è vera sotto quell'interpretazione, F è vera. Ora l'unica altra interpretazione possibile di Φ lo rende falso, e in tal caso ¬Φ è reso vero dalla funzione di negazione. Ciò renderebbe F nuovamente vera, poiché uno dei simboli di F, ¬Φ, sarebbe vero sotto questa interpretazione. Poiché queste due interpretazioni per F sono le uniche interpretazioni logiche possibili, e poiché F risulta vera per entrambe, diciamo che è logicamente valida o tautologica.

Logica proposizionale[modifica | modifica wikitesto]

Un linguaggio formale nella logica proposizionale consiste di formule costruite a partire da simboli proposizionali (o variabili proposizionali) e connettivi logici. Gli unici simboli "non logici" in un linguaggio formale sono le variabili proposizionali, che sono spesso indicate con lettere maiuscole.

In questo contesto, l'interpretazione è solitamente effettuata mediante una funzione che mappa ogni simbolo proposizionale ad un valore di verità vero o falso. Questa funzione viene anche detta funzione di valutazione.[1][2]

Per un linguaggio con n variabili proposizionali distinti esistono possibili interpretazioni distinte. Per ogni variabile a in particolare, ad esempio, ci sono possibili interpretazioni: possiamo infatti assegnare ad a il valore T (vero) o F (falso). Per la coppia di variabili esistono possibili interpretazioni: 1) assegnamo ad entrambe il valore T, 2) assegnamo ad entrambe il valore F, 3) assegnamo T ad a e F a b, or 4) assegnamo F ad a e T a b. E così via.

Logica del primo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Per conferire un significato ad un certo linguaggio del primo ordine, dato un certo dominio (generalmente richiesto essere non vuoto), facciamo uso delle seguenti interpretazioni:[3]

  • interpretazione dei simboli costanti: ad ogni simbolo costante si associa un elemento ;
  • interpretazione dei simboli di funzione: ad ogni simbolo di funzione n-ario si associa una funzione ;
  • interpretazione dei simboli di predicato: ad ogni simbolo di predicato n-ario si associa una relazione .

Un oggetto contenente tali informazioni è detto struttura.[3] Tale struttura è detta modello di una certa formula se , ovvero se è vera in .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Definiamo un possibile linguaggio L, avente come simboli costanti , e ; predicati , , , e ; e variabili , e .

Un esempio di interpretazione del linguaggio L è la seguente:

  • Dominio: i pezzi degli scacchi
  • Costanti individuali: : il re bianco; : la regina nera; : un certo pedone bianco
  • : è un pezzo
  • : è un pedone
  • : è nero
  • : è bianco
  • : può mangiare

Nell'interpretazione di cui sopra:

  • le seguenti proposizioni sono vere: , , , , ;
  • le seguenti proposizioni sono false: , , .

La struttura è un modello di tutte le proposizioni vere di cui sopra. Per esempio, abbiamo che .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b c d Francesco Bottacin, Appunti di Logica Matematica (PDF), Università degli Studi di Padova. URL consultato il 6 dicembre 2020 (archiviato il 10 gennaio 2017).
  2. ^ Raffaella Bernardi, Logica & Linguaggio: Logica Proposizionale I (PDF), su disi.unitn.it, Università degli Studi di Trento, 23 febbraio 2012. URL consultato il 6 dicembre 2020.
  3. ^ a b Daniele Nardi, Rappresentazione della Conoscenza - Lezione 2 (PDF), su dis.uniroma1.it, Università degli Studi di Roma "La Sapienza", 2008. URL consultato il 6 dicembre 2020 (archiviato il 6 dicembre 2020).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]