Immagini conformi

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Esempio di immagine conforme ottenuta a partire da una tassellatura regolare del piano: la mappa conforme rappresenta un polinomio di grado 4

Le immagini conformi si ottengono come risultato dell'applicazione di una mappa conforme (una trasformazione del piano che conserva gli angoli) a un'immagine di partenza. Si realizza in questo modo una deformazione dell'immagine iniziale, che consente di visualizzare gli effetti di una mappa conforme su un sottoinsieme del piano: si tratta di effetti difficili da cogliere in altro modo, dal momento che essi coinvolgono la contro-intuitiva raffigurazione mentale in uno spazio quadridimensionale, una rappresentazione che sfugge alla normale intuizione spaziale tridimensionale.

La tecnica delle immagini conformi è una generalizzazione dell'analogo sistema della colorazione del dominio, anch'esso utilizzato per visualizzare l'effetto di mappe conformi. Ma, mentre quest'ultimo si serve di un prefissato cerchio cromatico formato da infiniti colori, la tecnica delle immagini conformi si serve di una tassellatura del piano realizzata con immagini finite. L'interesse pedagogico di questo metodo è quello di poterlo applicare a un flusso di immagini provenienti da una webcam per permettere una maggiore interattività e un più ricco anello di retroazione[1].

(Nel seguito dell'articolo, al posto di "immagine", si utilizzeranno i termini "disegno" o "figura", per evitare confusione terminologica con i concetti matematici di immagine e controimmagine di una funzione. L'immagine di base utilizzata , con cui è tassellato il piano, è un orologio centrato nell'origine, contornato da una frase[2] e iscritto in un quadrato).

Mappe conformi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi mappa conforme.
Piano tassellato dalla figura di un orologio
Applicazione al piano tassellato di una similitudine: z\mapsto az+b

Una mappa conforme è una trasformazione del piano che conserva gli angoli. Sono conformi, ad esempio, molte funzioni di uso comune, se considerate nel campo complesso: l'elevazione a potenza, l'esponenziale, il logaritmo, la tangente.

Il piano può essere parametrizzato mediante coordinate cartesiane in cui ogni punto è denotato come (x,y)\in\mathbb{R}^2, ma per le mappe conformi è più semplice e conveniente utilizzare il formalismo dell'analisi complessa: in tale ambito il piano cartesiano è sostituito dal piano complesso, ai cui punti, denotati come x+i\,y\in\mathbb{C}, si applicano le normali operazioni algebriche del campo complesso.

La semplificazione è dovuta al fatto che, nel piano complesso, un'omotetia di rapporto r si ottiene semplicemente come moltiplicazione per il numero reale r, mentre una rotazione di angolo θ si esprime semplicemente come moltiplicazione per il numero complesso unitario e^{i\theta}.

La moltiplicazione per un numero complesso qualsiasi a=r\,e^{i\theta} equivale quindi a una roto-omotetia: si tratta della combinazione di una rotazione e di un'omotetia, una trasformazione del piano altrimenti detta similitudine. Da semplici considerazioni algebriche sui moduli dei numeri coinvolti, si ricava che il numero complesso a=r\,e^{i\theta} rappresenta il fattore di zoom della trasformazione del piano.

Questo formalismo, con le sue operazioni algebriche, permette di unificare due diversi concetti in uno solo, il numero complesso, che rappresenta sia i punti del piano (lo z della funzione z\mapsto az) sia la similitudini che agiscono sui punti (il coefficiente a della funzione z\mapsto az)

Funzioni olomorfe[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzioni olomorfe.

All'interno delle mappe conformi, una classe particolare è costituita dalle funzioni olomorfe: queste ultime sono (localmente) conformi in tutti i punti in cui la derivata non si annulla. La conformità nell'intorno di tali punti discende dal fatto che esse possono essere localmente approssimate da una similitudine:

f(z)=a\,(z-z_0)+b+o(z-z_0)

In questa espressione, a=f'(z_0) è la derivata nel punto z_0, mentre b=f(z_0) è il valore assunto da f su z0. Il termine o(z-z_0) rappresenta invece l'errore dell'approssimazione, trascurabile (o-piccolo) al tendere a zero di z-z_0. Da questa espressione si vede che il fattore di scala della trasformazione è rappresentato proprio dal modulo del valore complesso della derivata.

Funzioni polinomiali[modifica | modifica sorgente]

Le similitudini, in quanto espresse da polinomi di primo grado, hanno una derivata costante, e sono gli esempi più semplici di funzioni olomorfe. Dopo le similitudini, gli esempi più semplici di olomorfia si hanno con i polinomi di grado più elevato (k > 1) e, in particolare, con i monomi del tipo z\mapsto z^k. La derivata del monomio è z\mapsto k\,z^{k-1}, che per k > 1 si annulla solo all'origine: la funzione associata al monomio di ordine superiore a 1 è conforme in tutti i punti fuorché nell'origine.

Un problema che si presenta quando si vuole rappresentarle è che, in generale, una funzione olomorfa non è una funzione iniettiva: già se si considera, ad esempio, il semplice monomio z^k (con k maggiore di 1), esistono k punti differenti che sono mandati nello stesso valore y (ad esempio, nel punto y = 1 sono mappate tutte le k radici k-esime dell'unità. Fa eccezione, naturalmente, il caso y = 0). La mancanza di iniettività comporta importanti effetti quando si vanno a visualizzare le figure conformi.

Se infatti, ad esempio, si considera la trasformazione costituita dall'elevamento al quadrato, e la si applica al piano tassellato dal disegno dell'orologio, otterremo una figura in cui vi è la sovrapposizione di due tassellature differenti: per quanto detto prima, infatti, in ciascun punto del risultato, eccetto lo zero, sono mappati due punti dell'originale. Il risultato è la seguente figura sfocata:

Un orologio "al quadrato". Si noti il doppio ricoprimento di di ogni punto

Si può vedere che il disco unitario centrale è nel complesso conservato, in quanto mappato su se stesso, ma ogni punto (eccetto lo zero) è coperto due volte, il che rende la figura confusa. Per esempio, i punti corrispondenti a +1 (ore 3:00) e a −1 (ore 9:00) sono entrambi mandati su +1 (sulle 3:00, a destra della figura, verso la metà), +i (ore 9:00) e i (ore 6:00) sono entrambi mandati su −1 (a sinistra nella figura, verso la metà).

Se si vuole una funzione iniettiva, dobbiamo restringere il dominio della trasformazione: possiamo, per esempio, restringerci al caso del semipiano positivo, o al semipiano negativo. La figura ottenuta non presenterà sfocature dovute a sovrapposizioni.

Il semipiano negativo al quadrato
Il semipiano positivo al quadrato

Guardando più da lontano la figura, le sfocature si attenuano e si ottiene lo stesso aspetto, in grande, per l'intera tassellatura.

Controimmagine[modifica | modifica sorgente]

Per ottenere una bella figura conforme, conviene tralasciare la mappatura diretta, e considerare la figura ottenuta mediante la funzione inversa.

La figura non tassella più il dominio della funzione ma il suo codominio (più correttamente, ma con bisticcio di parole, si dovrebbe dire che "non tassella più il dominio della funzione ma l'immagine del dominio"). In questa rappresentazione, il punto z assume il colore del pixel f(z).

La controimmagine della funzione z\mapsto z^2. Il grado 2 è rivelato dalla duplicazione delle lancette

Si noti la duplicazione delle lancette e dei numeri del quadrante: i punti z e −z sono colorati allo stesso modo perché entrambi sono mappati nello stesso punto z2.

Un polinomio di grado 4. Si notino gli zeri della sua derivata. I semplici zeri non hanno nulla di speciale
La controimmagine di z\mapsto z^3. Il grado 3 è rivelato dalla triplicazione delle lancette e dei numeri dell'orologio centrato sull'origine

Allo stesso modo, per quanto già detto, il monomio di ordine k manda k punti diversi nello stesso punto obiettivo.

Dalla controimmagine si possono ricavare un bel po' di utili informazioni riguardanti la mappa conforme. Siccome il fattore di zoom della mappa diretta è rappresentato dalla derivata, il fattore di zoom della mappatura inversa è il reciproco della derivata: dove la mappa diretta ingrandisce (modulo del fattore di scala maggiore di 1), la mappa inversa rimpicciolisce (modulo del fattore di scala inferiore a 1). Ne consegue che in corrispondenza degli zeri della derivata della funzione succede stavolta qualcosa di molto speciale: il fattore di zoom diventa infinito, con evidenti forti deformazioni struttive visibili nei pressi di questi punti. Inoltre, il grado dello zero può essere facilmente ricavato dal numero di volte in cui una caratteristica del disegno si ripete attorno alla singolarità (si vedano le lancette, i numeri del quadrante e la scritta circostante, tutti elementi che vengono duplicati e triplicati, rispettivamente, nelle controimmagine di z\mapsto z^2 e z\mapsto z^3).

Ci si può anche accorgere di quando la derivata sia reale e positiva: vi è ingrandimento ma nessuna rotazione e la figura si presenta "in piedi". Quando invece è reale negativa, la situazione è analoga ma la figura sta "a testa in giù". Quando ci si restringe a considerare l'asse reale, si può immaginare una rappresentazione approssimativa del grafico di una funzione reale. Si individueranno anche i punti di flesso: si trovano in corrispondenza dei minimi e dei massimi del fattore di zoom.

Inversione, poli[modifica | modifica sorgente]

Dopo le funzioni olomorfe, altro esempio di mappe localmente olomorfe è fornito dalle funzioni meromorfe, delle quali è possibile individuare sia posizione sia l'ordine dei poli.

L'inversione z\mapsto 1/z.
L'inversione (vista in dettaglio)

Consideriamo la funzione z\mapsto 1/z, che ha un polo semplice in corrispondenza dello zero. È un caso particolare della trasformazione di Möbius, vale a dire una trasformazione del tipo z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}, in cui a, b, c e d sono quattro numeri complessi tali che ad - bc \neq 0 (in questo caso si ha a = d = 0 e b = c = 1). Pertanto essa manda cerchi e rette in cerchi e rette, che è la sua caratteristica principale. In particolare, linee orizzontali e verticali sono trasformate in cerchi passanti per lo zero. È molto simile all'ordinaria inversione circolare (z\mapsto 1/\bar{z}) e al pari di questa fa "esplodere" l'interno del cerchio unitario, all'interno del quale viene invece "compresso" tutto il resto del piano. Per il fatto di scambiare linee curve con rette, e viceversa, la trasformazione si presta a curiosi effetti grafici: è ampiamente utilizzata dagli artisti, per ottenere spettacolari deformazioni struttive di tipo anamorfico delle immagini.

Due poli in corrispondenza di +1/2 e -1/2
Un polo di ordine 2 per z\mapsto 1/z^2

Come gli zeri, i poli possono essere semplici o di ordine superiore. I cerchi, in generale, sono conservati solo a livello infinitesimo. Si possono dipingere poli di ordine più alto come molti poli semplici messi insieme.

Logaritmo ed esponenziale[modifica | modifica sorgente]

la funzione esponenziale z\mapsto e^z. Si notino le invarianze all'omotetia e alla rotazione, corrispondenti alle invarianze alla traslazione orizzontale (reale) e verticale (immaginaria) nella struttura finale.
La funzione logaritmo z\mapsto \log(z). Si notino, a sinistra, le bande verticali, effetto dello "srotolatamento" di cerchi e dischi centrati sull'origine. Si osservino invece la lancette rosse e verdi: le rette uscenti dal centro sono trasformate in rette orizzontali

Una trasformazione importante in analisi complessa e cartografia è la trasformazione dalle coordinate cartesiane (x,y) alle coordinate polari (r,θ). Questa trasformazione è espressa dalla coppia di funzioni logaritmo/esponenziale una l'inversa dell'altra (\log(\exp(z))=z). In effetti,

\log(r\,e^{i\theta})=\log(r)+i\theta manda (rθ) in (x = log(r), y = θ) e \exp(x+i\,y)=\exp(x)\,e^{i\, y} manda (xy) in (r = exp(x), θ = y).

Nella figura ottenuta, il logaritmo srotola i cerchi centrati sull'origine trasformandoli in linee verticali, mentre i raggi vengono trasformati in linee orizzontali: la grande banda verde verticale è il pivot circolare della lancetta mentre l'interno del quadrante è trasformato nella fascia verticale nera attraversata dalla scritta verticale in francese; le lancette verdi e rosse, invece, che sono rette uscenti dal centro, si trasformano in rette orizzontali.

Il comportamento dell'esponenziale è invece opposto: avvolge le linee verticali trasformandole in cerchi concentrici e manda rette orizzontali in raggi uscenti dall'origine.

Si noti che il logaritmo tende all'infinito all'approssimarsi a zero, ma in maniera molto più lenta di quanto non faccia l'inversione.

Singolarità essenziali[modifica | modifica sorgente]

Le funzioni analitiche esibiscono un altro tipo di singolarità, per esempio la singolarità essenziale.

z\mapsto e^{1/z} è zero per z \to 0^-,

con un'accumulazione di zeri,

e indeterminata per z \to 0^+, con un'accumulazione di poli.

Raggio di convergenza[modifica | modifica sorgente]

Le funzioni analitiche sono (localmente) rappresentabili come somme di serie di potenze. Dato un punto, la serie di Taylor ammette un raggio di convergenza. Il confronto tra la controimmagine della funzione, e la sua serie di Taylor troncata fino a un certo ordine, permette di illustrare il concetto:

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Christian Mercat, « Applications conformes », Images des mathématiques, CNRS, Université Claude Bernard, Lyon 1, 2009
  2. ^ «Ce qui n'est pas donné est perdu» («quello che non è donato è perduto», affermazione attribuita a volte a Madre Teresa di Calcutta)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Ulteriori letture

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]