Se riscontri problemi nella visualizzazione dei caratteri, clicca qui

Identità di Lagrange

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra, l'identità di Lagrange è l'identità quadratica che coinvolge il prodotto vettoriale: [1][2]

che si applica ad ogni coppia di insiemi {a1, a2, . . ., an} e {b1, b2, . . ., bn} di numeri reali o complessi (o, più generalmente, di elementi di un anello commutativo). Questa identità è una forma speciale dell'identità di Binet–Cauchy.

Per numeri reali, l'identità si può scrivere in una notazione più compatta utilizzando il prodotto scalare, [3]

dove a e b sono vettori n-dimensionali le cui componenti sono numeri reali. Questa identità può essere estesa al caso complesso, come [4][5]

Dal momento che la parte destra dell'identità è chiaramente non-negativa, essa implica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nello spazio euclideo finito-dimensionalen e la sua controparte complessa ℂn.

Identità di Lagrange e algebra esterna[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando il prodotto esterno, l'identità di Lagrange può essere scritta nel modo seguente:

Quindi, può essere vista come una formula che dà la lunghezza del prodotto esterno di due vettori, che è l'area del parallelogrammo che essi delineano, in termini di prodotto scalare dei due vettori, come

Identità di Lagrange e calcolo vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Nelle tre dimensioni, l'identità di Lagrange asserisce che il quadrato dell'area di un parallelogrammo nello spazio è uguale alla somma dei quadrati delle sue proiezioni all'interno del sistema di coordinamento Cartesiano. Algebricamente, se a e b sono vettori in ℝ3 di lunghezza |a| e |b|, allora l'identità di Lagrange può essere scritta in termini del prodotto vettoriale e del prodotto scalare: [6][7]

Usando la definizione di angolo basata sul prodotto scalare, la parte sinistra è

dove θ è l'angolo formato dai vettori a e b. L'area del parallelogramma di lati |a| e |b| e di angolo θ si sa essere, secondo la geometria elementare,

allora la parte sinistra dell'identità di Lagrange è il quadrato dell'area del parallelogramma. Il prodotto vettoriale che compare nella parte destra è definito da

che è un vettore le cui componenti sono uguali in magnitudine alle aree delle proiezioni del parallelogrammo all'interno dei piani yz, zx e xy, rispettivamente.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Eric W. Weisstein, CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd, CRC Press, 2003, ISBN 1-58488-347-2.
  2. ^ Robert E Greene and Steven G Krantz, Exercise 16, in Function theory of one complex variable, 3rd, American Mathematical Society, 2006, p. 22, ISBN 0-8218-3962-4.
  3. ^ Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann, Dimension theory for ordinary differential equations, Vieweg+Teubner Verlag, 2005, p. 26, ISBN 3-519-00437-2.
  4. ^ J. Michael Steele, Exercise 4.4: Lagrange's identity for complex numbers, in The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities, Cambridge University Press, 2004, pp. 68–69, ISBN 0-521-54677-X.
  5. ^ Robert E. Greene e Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2002, pp. 22, Exercise 16, ISBN 978-0-8218-2905-9.;
    Bruce P. Palka, An Introduction to Complex Function Theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1991, pp. 27, Exercise 4.22, ISBN 978-0-387-97427-9..
  6. ^ Howard Anton, Chris Rorres, Relationships between dot and cross products, in Elementary Linear Algebra: Applications Version, 10th, John Wiley and Sons, 2010, p. 162, ISBN 0-470-43205-5.
  7. ^ Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors, 2nd, Cambridge University Press, 2001, p. 94, ISBN 0-521-00551-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Matematica