Identità del triplo prodotto di Jacobi

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In matematica, l'identità del triplo prodotto di Jacobi è l'identità matematica:

Per i numeri complessi x ed z, con |x| < 1 e z ≠ 0.

L'identità è attribuita a Karl Gustav Jacob Jacobi, che la dimostrò nel 1829 nella sua opera Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.[1]

Questa relazione permette di generalizzare altri risultati, come il teorema dei numeri pentagonali di Eulero, essendo questo un caso speciale dell'identità del triplo prodotto di Jacobi.

Infatti, prendendo e , si ottiene

L'identità del triplo prodotto di Jacobi riesprime in forma di prodotto la funzione theta di Jacobi, normalmente scritta come serie:

o, appunto come

ponendo e

Usando l'identità del triplo prodotto di Jacobi possiamo perciò scrivere la funzione theta come il prodotto

Esistono diversi modi di esprimere l'identità del triplo prodotto di Jacobi. Assume una forma concisa quando viene espressa in termini dei q-simboli di Pochhammer.

dove è il q-simbolo infinito di Pochhammer.

Particolarmente elegante è invece la forma che prende quando viene espressa in termini della funzione theta di Ramanujan:

ove .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per dimostrare l'identità del triplo prodotto di Jacobi si può ricorrere al seguente metodo. Si definisce la funzione f come:

e si osserva che

e quindi

Quindi, definendo la funzione g come

da cui

la funzione g si può sviluppare in una serie di potenze

che deve soddisfare

con un cambio di indice m = m - 1 si ottiene

da cui

quindi

....

allora

ricordando le definizioni di f e g si ricava il triplo prodotto di Jacobi

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Remmert, R. (1998). Classical Topics in Complex Function Theory (pp. 28-30). New York: Springer.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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