Identità del triplo prodotto di Jacobi

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In matematica, l'identità del triplo prodotto di Jacobi è l'identità matematica:

\sum_{m=-\infty}^{\infty}x^{m^2}z^{2m}=\prod_{n=0}^{\infty}\left(1-x^{2n}\right)\left(1+x^{2n-1}z^2\right)\left(1+\frac{x^{2n-1}}{z^2}\right)

Per i numeri complessi x ed z, con |x| < 1 e z ≠ 0.

L'identità è attribuita a Karl Gustav Jacob Jacobi, che la dimostrò nel 1829 nella sua opera Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.[1]

Questa relazione permette di generalizzare altri risultati, come il teorema dei numeri pentagonali di Eulero, essendo questo un caso speciale dell'identità del triplo prodotto di Jacobi.

Infatti, prendendo x=q^{3/2} e y^2=-\sqrt{q}, si ottiene

\phi(q) = \prod_{m=1}^\infty \left(1-q^m \right) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.\,

L'identità del triplo prodotto di Jacobi riesprime in forma di prodotto la funzione theta di Jacobi, normalmente scritta come serie:


\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z),

o, appunto come

\sum_{n=-\infty}^\infty y^{2n}x^{n^2},

ponendo x=e^{i\pi \tau} e y=e^{i\pi z}.

Usando l'identità del triplo prodotto di Jacobi possiamo perciò scrivere la funzione theta come il prodotto

\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right).

Esistono diversi modi di esprimere l'identità del triplo prodotto di Jacobi. Assume una forma concisa quando viene espressa in termini dei q-simboli di Pochhammer.

\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n(n+1)/2}z^n =
(q;q)_\infty \; (-1/z;q)_\infty \; (-zq;q)_\infty,

dove (a;q)_\infty è il q-simbolo infinito di Pochhammer.

Particolarmente elegante è invece la forma che prende quando viene espressa in termini della funzione theta di Ramanujan:

f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty,

ove |ab|<1.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per dimostrare l'identità del triplo prodotto di Jacobi si può ricorrere al seguente metodo. Si definisce la funzione f come:

f\left(z\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+x^{2n-1}z^2\right)\left(1+\frac{x^{2n-1}}{z^2}\right)

e si osserva che

\frac{f\left(xz\right)}{f\left(z\right)}=\frac{1}{xz^2}

e quindi

xz^2f\left(xz\right)=f\left(z\right).

Quindi, definendo la funzione g come

g\left(z\right)=f\left(z\right)\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-x^{2n}\right)
g\left(xz\right)=f\left(xz\right)\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-x^{2n}\right)

da cui

xz^2g\left(xz\right)=g\left(z\right)

la funzione g si può sviluppare in una serie di potenze

g\left(z\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_mz^{2m}

che deve soddisfare

\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_mz^{2m}=xz^2\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_m\left(xz\right)^{2m}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_mx^{2m+1}z^{2m+2}

con un cambio di indice m = m - 1 si ottiene

\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_mz^{2m}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_mx^{2m-1}z^{2m}

da cui

a_m=a_{m-1}x^{2m-1}

quindi

a_1=a_0x
a_2=a_1x^3=a_0x^{1+3}=a_0x^4=a_0x^{2^2}
a_3=a_2x^5=a_0x^{5+4}=a_0x^9=a_0x^{3^2}

....

allora

a_m=a_0x^{m^2}

ricordando le definizioni di f e g si ricava il triplo prodotto di Jacobi

\sum_{m=-\infty}^{\infty}x^{m^2}z^{2m}=\prod_{n=0}^{\infty}\left(1-x^{2n}\right)\left(1+x^{2n-1}z^2\right)\left(1+\frac{x^{2n-1}}{z^2}\right)

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Remmert, R. (1998). Classical Topics in Complex Function Theory (pp. 28-30). New York: Springer.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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