Gruppo ortogonale

In matematica, il gruppo ortogonale di grado $n$ su un campo $K$ è il gruppo delle matrici ortogonali $n\times n$ a valori in $K$. Si indica con $\mathrm {O} (n,K)$ o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con $\mathrm {O} (n)$.

Quando $K$ è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione $n.$ Le matrici aventi determinante uguale a $+1$ formano un sottogruppo, che si indica con $\mathrm {SO} (n)$, detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.

Definizione

Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare $\mathrm {GL} (n,K)$ di tutte le matrici invertibili, definito come segue:

$\{Q\in \mathrm {GL} (n,K)\ |\ Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}.$

In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali.

Quando il campo $K$ non è menzionato, si sottintende che $K$ è il campo dei numeri reali $\mathbb {R}$. In questa voce, parleremo soltanto del caso $K=\mathbb {R}$.

Proprietà basilari

Una matrice ortogonale ha determinante $+1$ oppure $-1.$ Il sottoinsieme di $\mathrm {O} (n)$ formato da tutte le matrici con determinante $+1$ è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con $\mathrm {SO} (n)$. Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.

Il gruppo $\mathrm {O} (n)$ è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione $n-1.$ Il sottogruppo $\mathrm {SO} (n)$ è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.

Topologia

Il gruppo $\mathrm {O} (n)$ è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è $\mathrm {SO} (n).$

Dimensioni basse

• Per $n=1$, il gruppo $\mathrm {O} (1)$ consta di due elementi, $1$ e $-1.$
• Per $n=2$, il gruppo $\mathrm {SO} (2)$ è isomorfo al gruppo quoziente $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ dove $\mathbb {R}$ è l'insieme dei numeri reali e $\mathbb {Z}$ il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con $S^{1}$, e topologicamente è una circonferenza.
• Per $n=3$, il gruppo $\mathrm {SO} (3)$ è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).$

Gruppo fondamentale

Il gruppo fondamentale di $\mathrm {SO} (2)$ è $\mathbb {Z} ,$ il gruppo dei numeri interi. Per ogni $n>2$ il gruppo fondamentale di $\mathrm {SO} (n)$ è invece $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con $\mathrm {Spin} (n)$, e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo $\mathrm {Spin} (n)$ è chiamato gruppo Spin.

Bibliografia

• (EN) Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Boston, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 88-339-5548-6.

Voci correlate

• Matrice ortogonale
• Trasformazione ortogonale
• Rotazione (matematica)