Funzione non espansiva

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In matematica, una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.

Più precisamente, se e sono spazi metrici e allora essa si dice non espansiva se

per ogni in .

Una funzione non espansiva è lipschitziana con costante di Lipschitz 1. Se in particolare vale l'uguaglianza e la funzione è inoltre una biiezione con inversa non espansiva allora è un'isometria.

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Se è uno spazio normato, un suo sottoinsieme compatto e convesso e è non espansiva, allora ammette punto fisso, cioè esiste un in tale che .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni numero naturale e per un fissato in definiamo , dove è una successione di numeri reali convergente a 1. È

,

dunque per ogni naturale è una contrazione; allora, per il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli ammette un unico punto fisso .

Sia la successione dei punti fissi. Essa è contenuta in , dunque essendo compatto per successioni esiste una sottosuccessione convergente in ad un punto . Allora è

.

Il primo e l'ultimo addendo sono infinitesimi per l'ipotesi su e per la continuità di . Il secondo addendo è

,

dunque quando il primo addendo dentro la norma va a 0 e il secondo e il terzo vanno a , cioè .

Quindi, passando al limite, per il teorema del confronto è

, cioè , cioè .
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