Funzione logaritmicamente concava

In analisi convessa, una funzione non negativa $f:R^{n}\to R_{+}$ è logaritmicamente concava se il suo dominio è un insieme convesso e se soddisfa la disuguaglianza

$f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }$

per ogni $x,y\in domf$ e $0<\theta <1$. Se $f$ è strettamente positiva, ciò è equivalente a dire che il logaritmo della funzione, ossia $\log \circ f$, è una funzione concava; quindi,

$\log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)$

per ogni $x,y\in domf$ e $0<\theta <1$.

Esempi di funzioni logaritmicamente concave sono le funzioni indicatrici 0-1 di insiemi convessi (che richiedono la definizione più flessibile) e la funzione gaussiana.

Analogamente, una funzione è logaritmicamente convessa se soddisfa la disuguaglianza opposta

$f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }$

per ogni $x,y\in domf$ e $0<\theta <1$.

Proprietà

• Una funzione logaritmicamente concava positiva è anche una funzione quasi-concava.
• Ogni funzione concava che è non negativa sul suo dominio è logaritmicamente concava. Tuttavia, non vale necessariamente il viceversa. Un esempio è la funzione gaussiana $f(x)=\exp(-{\frac {x^{2}}{2}})$ che è logaritmicamente concava poiché $\log f(x)=-{\frac {x^{2}}{2}}$ è una funzione concava di $x$. Ma $f$ non è concava poiché la sua derivata seconda è positiva per $|x|>1$:

$f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0$

• Una funzione non negativa, due volte differenziabile, con un dominio convesso è logaritmicamente concava se e solo se per ogni $x$ tale che $f(x)>0$,

$f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}$,

ossia

$f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}$ è

semi-definita negativa. Per funzioni di una variabile, questa condizione si riduce a

$f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}$

Operazioni che conservano la concavità logaritmica

• Prodotto: Il prodotto di funzioni logaritmicamente concave è anch'esso una funzione logaritmicamente concava. Infatti, se $f$ e $g$ sono funzioni logaritmicamente concave, allora $\log f$ e $\log g$ sono concave per definizione. Perciò

$\log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))$

è concava e quindi anche $fg$ è logaritmicamente concava.

• Marginalizzazione: Se $f(x,y):R^{n+m}\to R$ è logaritmicamente concava, allora

$g(x)=\int f(x,y)dy$

è logaritmicamente concava (vedere disuguaglianza di Prékopa-Leindler).

• Ciò implica che la convoluzione conserva la concavità logaritmica, poiché $h(x,y)=f(x-y)g(y)$ è logaritmicamente concava se $f$ e $g$ sono logaritmicamente concave, e perciò

$(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int h(x,y)dy$

è logaritmicamente concava.

Distribuzioni logaritmicamente concave

Le distribuzioni logaritmicamente concave sono necessarie per un certo numero di algoritmi, ad esempio adaptive rejection sampling.

Come è noto, molte distribuzioni di probabilità comuni sono logaritmicamente concave. Alcuni esempi:

• la distribuzione normale e le distribuzioni normali multivariate;
• la distribuzione esponenziale;
• la distribuzione uniforme su ogni insieme convesso;
• la distribuzione logistica;
• la distribuzione dei valori estremi;
• la distribuzione di Laplace;
• la distribuzione chi;
• la distribuzione chi quadrato se il numero di gradi di libertà è >= 2;
• la distribuzione di Wishart, in cui n >= p + 1;
• la distribuzione di Dirichlet, in cui tutti i parametri siano >= 1;
• la distribuzione Gamma se il parametro di forma è >= 1;
• la distribuzione beta se entrambi i parametri di forma sono >= 1;
• la distribuzione di Weibull se il parametro di forma è >= 1.

Notiamo che tutte le restrizioni sui parametri hanno la stessa motivazione di base: l'esponente di una quantità non negativa deve essere non negativo in modo che la funzione sia logaritmicamente concava.

Le seguenti distribuzioni sono non logaritmicamente concave per ogni scelta dei parametri:

• la distribuzione t di Student;
• la distribuzione di Cauchy;
• la distribuzione di Pareto;
• la distribuzione lognormale;
• la distribuzione F.

Notare che la funzione cumulativa di tutte le distribuzioni logaritmicamente concave è anch'essa logaritmicamente concava. Tuttavia, alcune distribuzioni non logaritmicamente concave pure hanno funzioni cumulative logaritmicamente concave:

• la distribuzione lognormale;
• la distribuzione di Pareto;
• la distribuzione di Weibull quando il parametro di forma è < 1;
• la distribuzione Gamma quando il parametro di forma è < 1.

Le seguenti sono alcune tra le proprietà delle distribuzioni logaritmicamente concave:

• se la densità è logaritmicamente concava, tale è la sua funzione cumulativa;
• se una densità multivariata è logaritmicamente concava, tale è la densità marginale su ogni sottoinsieme di variabili.
• la somma di due variabili casuali logaritmicamente concave indipendenti è logaritmicamente concava; ciò segue dal fatto che la convoluzione di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concava;
• il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo; ciò significa che le densità congiunte ottenute moltiplicando due densità di probabilità (ad esempio la normal-gamma distribution, che ha sempre un parametro di forma >= 1) saranno logaritmicamente concave. Questa proprietà è molto usata nei programmi per i general-purpose basati sul campionamento di Gibbs, quali BUGS e JAGS, che, in tal modo, sono in grado di utilizzare adaptive rejection sampling su una grande varietà di distribuzioni condizionate derivanti dal prodotto di altre distribuzioni.

Bibliografia

• Ole Barndorff-Nielsen, Information and exponential families in statistical theory, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, Chichester, John Wiley \& Sons, Ltd., 1978, pp. ix+238 pp., ISBN 0-471-99545-2, MR 489333.
• Sudhakar Dharmadhikari e Kumar Joag-Dev, Unimodality, convexity, and applications, Probability and Mathematical Statistics, Boston, MA, Academic Press, Inc., 1988, pp. xiv+278, ISBN 0-12-214690-5, MR 954608.

• Johann Pfanzagl e with the assistance of R. Hamböker, Parametric Statistical Theory, Walter de Gruyter, 1994, ISBN 3-11-013863-8, MR 1291393.

• Josip E. Pečarić, Frank Proschan e Y. L. Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Mathematics in Science and Engineering, vol. 187, Boston, MA, Academic Press, Inc., 1992, pp. xiv+467 pp., ISBN 0-12-549250-2, MR 1162312.

Voci correlate

• Ennupla logaritmicamente concava
• Misura logaritmicamente concava
• Funzione concava
• Logaritmo
• Funzione convessa
• Funzione logaritmicamente convessa