Funzione di Eulero (forma modulare)

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Modulo di φ nel piano complesso, colorato in modo che nero=0, rosso=4

In matematica, la funzione di Eulero, dal matematico svizzero Leonhard Euler, è definita come

per |q| < 1. È un esempio di q-serie, una forma modulare, e fornisce un tipico esempio di relazione tra la combinatoria e l'analisi complessa.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il coefficiente nell'espansione in serie formale di potenze di , coincide col numero di partizioni di k. In simboli,

dove è la funzione di partizione di k.

Inoltre, il teorema dei numeri pentagonali di Eulero si può riscrivere come

e, in particolare, si noti che è un numero pentagonale.

La funzione di Eulero è collegata alla funzione eta di Dedekind attraverso un'identità di Ramanujan nel seguente modo:

dove ed entrambe le funzioni hanno la simmetria del gruppo modulare.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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