In matematica , la Funzione di Čebyšëv può essere una di due funzioni strettamente legate. La prima funzione di Čebyšëv
ϑ
(
x
)
{\displaystyle \vartheta (x)}
θ
(
x
)
{\displaystyle \theta (x)}
ϑ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
log
p
{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}
con la somma estesa a tutti i numeri primi
p
{\displaystyle p}
x
{\displaystyle x}
La seconda funzione di Čebyšëv
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
x
{\displaystyle x}
ψ
(
x
)
=
∑
k
∈
N
∑
p
k
≤
x
log
p
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
=
∑
p
≤
x
⌊
log
p
x
⌋
log
p
,
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}
dove
Λ
{\displaystyle \Lambda }
funzione di von Mangoldt . Le funzioni di Čebyšëv , specialmente la seconda
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
numeri primi , poiché è più semplice lavorare con esse che con la funzione enumerativa dei primi ,
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
x
{\displaystyle x}
teorema dei numeri primi .
Entrambe le funzioni sono nominate in onore di Pafnutij L'vovič Čebyšëv .
La seconda funzione di Chebyshev può essere vista come una relazione alla prima scrivendola come
ψ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
k
log
p
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}
dove
k
{\displaystyle k}
p
k
≤
x
{\displaystyle p^{k}\leq x}
x
<
p
k
+
1
{\displaystyle x<p^{k+1}}
k
{\displaystyle k}
OEIS :[collegamento interrotto . Una relazione più diretta è data da
ψ
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
ϑ
(
x
1
n
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right).}
Notare che quest'ultima somma ha un numero finito ti termini non nulli, come
ϑ
(
x
1
n
)
=
0
for
n
>
log
2
x
=
log
x
log
2
.
{\displaystyle \vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x\ ={\frac {\log x}{\log 2}}.}
La seconda funzione di Čebyšëv è il logaritmo del minimo comune multiplo degli interi da 1 a
n
{\displaystyle n}
lcm
(
1
,
2
,
…
,
n
)
=
e
ψ
(
n
)
.
{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}
I valori di
l
c
m
(
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle lcm(1,2,...,n)}
n
{\displaystyle n}
OEIS :[collegamento interrotto .
Sono noti i seguenti limiti per la funzione di Čebyšëv:[1] [2]
p
k
{\displaystyle p_{k}}
k
{\displaystyle k}
p
1
=
2
{\displaystyle p_{1}=2}
p
2
=
3
{\displaystyle p_{2}=3}
ϑ
(
p
k
)
≥
k
(
ln
k
+
ln
ln
k
−
1
+
ln
ln
k
−
2
,
050735
ln
k
)
per
k
≥
10
11
,
ϑ
(
p
k
)
≤
k
(
ln
k
+
ln
ln
k
−
1
+
ln
ln
k
−
2
ln
k
)
per
k
≥
198
,
|
ϑ
(
x
)
−
x
|
≤
0
,
006788
x
ln
x
per
x
≥
10
544
111
,
|
ψ
(
x
)
−
x
|
≤
0
,
006409
x
ln
x
per
x
≥
e
22
,
0
,
9999
x
<
ψ
(
x
)
−
ϑ
(
x
)
<
1
,
00007
x
+
1.78
x
3
per
x
≥
121.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2,050735}{\ln k}}\right)&&{\text{per }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)&&{\text{per }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0,006788{\frac {x}{\ln x}}&&{\text{per }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0,006409{\frac {x}{\ln x}}&&{\text{per }}x\geq e^{22},\\[8px]0,9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1,00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{per }}x\geq 121.\end{aligned}}}
Inoltre, sotto l'ipotesi di Riemann ,
|
ϑ
(
x
)
−
x
|
=
O
(
x
1
2
+
ε
)
|
ψ
(
x
)
−
x
|
=
O
(
x
1
2
+
ε
)
{\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)\\|\psi (x)-x|&=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)\end{aligned}}}
per ogni
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
I limiti superiori esistono per entrambe
ϑ
(
x
)
{\displaystyle \vartheta (x)}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
[3] [2]
ϑ
(
x
)
<
1
,
000028
x
ψ
(
x
)
<
1
,
03883
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1,000028x\\\psi (x)&<1,03883x\end{aligned}}}
per ogni
x
>
0
{\displaystyle x>0}
Una spiegazione della costante 1,03883 è data a OEIS :[collegamento interrotto .
Nel 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt provò[4] formula esplicita per
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
funzione zeta di Riemann :
ψ
0
(
x
)
=
x
−
∑
ρ
x
ρ
ρ
−
ζ
′
(
0
)
ζ
(
0
)
−
1
2
log
(
1
−
x
−
2
)
.
{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}
(Il valore numerico di
ζ
′
(
0
)
ζ
(
0
)
{\displaystyle {\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}}
l
o
g
(
2
π
)
{\displaystyle log(2\pi )}
p
{\displaystyle p}
ψ
0
{\displaystyle \psi _{0}}
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
0
(
x
)
=
1
2
(
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
+
∑
n
<
x
Λ
(
n
)
)
=
{
ψ
(
x
)
−
1
2
Λ
(
x
)
x
=
2
,
3
,
4
,
5
,
7
,
8
,
9
,
11
,
13
,
16
,
…
ψ
(
x
)
altrimenti.
{\displaystyle \psi _{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}}
Dalla serie di Taylor per il logaritmo , l'ultimo termine nella formula esplicita può essere inteso come una sommatoria di
x
ω
ω
{\displaystyle {\frac {x^{\omega }}{\omega }}}
ω
{\displaystyle \omega }
∑
k
=
1
∞
x
−
2
k
−
2
k
=
1
2
log
(
1
−
x
−
2
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}
corrisponde al polo semplice della funzione zeta in 1. Essendo un polo anziché uno zero, rappresenta il segno opposto del termine
Similmente, il primo termine,
x
=
x
1
1
{\displaystyle x={\frac {x^{1}}{1}}}
polo semplice della funzione zeta in 1. Essendo un polo anziché uno zero, rappresenta il segno opposto del termine
Un teorema dovuto a Erhard Schmidt afferma che, per alcune costanti positive esplicite
k
{\displaystyle k}
x
{\displaystyle x}
ψ
(
x
)
−
x
<
−
K
x
{\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}
e infiniti numeri naturali
x
{\displaystyle x}
ψ
(
x
)
−
x
>
K
x
.
{\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}
[5] [6] In notazione
o
{\displaystyle o}
, si potrebbe scrivere quanto sopra come
ψ
(
x
)
−
x
≠
o
(
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\right).}
Hardy e Littlewood [6]
ψ
(
x
)
−
x
≠
o
(
x
log
log
log
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\log \log \log x\right).}
La prima funzione di Čebyšëv è il logaritmo di primoriale di
x
{\displaystyle x}
x
#
{\displaystyle x\#}
ϑ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
log
p
=
log
∏
p
≤
x
p
=
log
(
x
#
)
.
{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}
Questo prova che il primorile
x
#
{\displaystyle x\#}
e
(
1
+
o
(
1
)
)
x
{\displaystyle e^{(1+o(1))x}}
o
{\displaystyle o}
o
{\displaystyle o}
notazione
o
{\displaystyle o}
) e insieme al teorema dei numeri primi determina il comportamento asintotico di
p
n
#
{\displaystyle p_{n}\#}
Relazione alla funzione enumerativa dei numeri primi [ modifica | modifica wikitesto ] La funzione di Čebyšëv può essere messa in relazione alla funzione enumerativa dei numeri primi come segue. Definiamo
Π
(
x
)
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
log
n
.
{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}
Quindi
Π
(
x
)
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
∫
n
x
d
t
t
log
2
t
+
1
log
x
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
=
∫
2
x
ψ
(
t
)
d
t
t
log
2
t
+
ψ
(
x
)
log
x
.
{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}
La transizione da
Π
{\displaystyle \Pi }
funzione enumerativa dei numeri primi ,
π
{\displaystyle \pi }
Π
(
x
)
=
π
(
x
)
+
1
2
π
(
x
)
+
1
3
π
(
x
3
)
+
⋯
{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)+\cdots }
Sicuramente
π
(
x
)
≤
x
{\displaystyle \pi (x)\leq x}
π
(
x
)
=
Π
(
x
)
+
O
(
x
)
.
{\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\right).}
L'ipotesi di Riemann afferma che tutti gli zeri non banali della funzione zeta hanno come parte reale 1 / 2
|
z
p
|
=
x
{\displaystyle |z^{p}|={\sqrt {x}}}
∑
ρ
x
ρ
ρ
=
O
(
x
log
2
x
)
.
{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\left({\sqrt {x}}\log ^{2}x\right).}
Quanto sopra, implica che
π
(
x
)
=
li
(
x
)
+
O
(
x
log
x
)
.
{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right).}
Una buona prova che l'ipotesi potrebbe essere vera viene dal fatto proposto da Alain Connes e altri, che se differenziamo la formula di von Mangoldt rispetto a
x
{\displaystyle x}
x
=
e
u
{\displaystyle x=e^{u}}
ζ
(
1
2
+
i
H
^
)
|
n
≥
ζ
(
1
2
+
i
E
n
)
=
0
,
{\displaystyle \left.\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+i{\hat {H}}\right)\right|n\geq \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+iE_{n}\right)=0,}
e
∑
n
e
i
u
E
n
=
Z
(
u
)
=
e
u
2
−
e
−
u
2
d
ψ
0
d
u
−
e
u
2
e
3
u
−
e
u
=
Tr
(
e
i
u
H
^
)
,
{\displaystyle \sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{\frac {u}{2}}-e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{\frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} \left(e^{iu{\hat {H}}}\right),}
dove la somma trigonometrica può essere considerata la traccia dell'operatore (meccanica statistica )
e
i
u
H
^
{\displaystyle e^{iu{\hat {H}}}}
p
=
1
2
+
i
E
(
n
)
{\displaystyle p={\frac {1}{2}}+iE(n)}
Usando l'approccio semiclassico il potenziale di
H
=
T
+
V
{\displaystyle H=T+V}
Z
(
u
)
u
1
2
π
∼
∫
−
∞
∞
e
i
(
u
V
(
x
)
+
π
4
)
d
x
{\displaystyle {\frac {Z(u)u^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^{i\left(uV(x)+{\frac {\pi }{4}}\right)}\,dx}
con
Z
(
u
)
→
0
{\displaystyle Z(u)\to 0}
u
→
∞
{\displaystyle u\to \infty }
soluzione a questa equazione integrale non lineare può essere ottenuta (tra gli altri) come
V
−
1
(
x
)
≈
4
π
⋅
d
1
2
d
x
1
2
N
(
x
)
{\displaystyle V^{-1}(x)\approx {\sqrt {4\pi }}\cdot {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}N(x)}
per ottenere l'inverso del potenziale:
π
N
(
E
)
=
Arg
ξ
(
1
2
+
i
E
)
.
{\displaystyle \pi N(E)=\operatorname {Arg} \xi \left({\tfrac {1}{2}}+iE\right).}
La funzione liscia è definita come
ψ
1
(
x
)
=
∫
0
x
ψ
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}
Può essere dimostrato che
ψ
1
(
x
)
∼
x
2
2
.
{\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}
La funzione Čebyšëv valutata in
x
=
e
t
{\displaystyle x=e^{t}}
J
[
f
]
=
∫
0
∞
f
(
s
)
ζ
′
(
s
+
c
)
ζ
(
s
+
c
)
(
s
+
c
)
d
s
−
∫
0
∞
∫
0
∞
e
−
s
t
f
(
s
)
f
(
t
)
d
s
d
t
,
{\displaystyle J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,}
quindi
f
(
t
)
=
ψ
(
e
t
)
e
−
c
t
per
c
>
0.
{\displaystyle f(t)=\psi \left(e^{t}\right)e^{-ct}\quad {\text{per }}c>0.}
^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for
ψ
{\displaystyle \psi }
θ
{\displaystyle \theta }
π
{\displaystyle \pi }
p
k
{\displaystyle p_{k}}
k
{\displaystyle k}
k
(
ln
k
+
ln
ln
k
−
1
)
{\displaystyle k(\ln k+\ln \ln k-1)}
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2}
Mathematics of Computation , Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
^ a b Pierre Dusart , "Estimates of some functions over primes without R.H.". arXiv :1002.0442 ^ Rosser e Schoenfeld Lowell , Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math. , vol. 6, 1962, pp. 64–94.. ^ Davenport, Harold (2000). In Multiplicative Number Theory ISBN 0-387-95097-4 . Google Book Search.^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
^ a b G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2,050735}{\ln k}}\right)&&{\text{per }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)&&{\text{per }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0,006788{\frac {x}{\ln x}}&&{\text{per }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0,006409{\frac {x}{\ln x}}&&{\text{per }}x\geq e^{22},\\[8px]0,9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1,00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{per }}x\geq 121.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54472a7ca8e89236d5b3f1ba496f50b05ce4f1d3)
![{\displaystyle \psi _{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9468456db3deb76d0f35a15770ee3110e672a4a)
![{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6921e8c80084f93ab4c2eb6acde84c2cefca3f12)
![{\displaystyle J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934e68a1fe60c4be0b06237286f305dc342fb883)
