Formule di Viète

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la formula relativa al calcolo di π, vedi Formula di Viète.

In matematica, più specificatamente in algebra, le formule di Viète, denominate così da François Viète (1540-1603), sono formule che mettono in relazione le radici di un polinomio con i suoi coefficienti.

Queste formule sono conosciute anche con il nome di formule di Viète-Girard poiché un importante contributo viene anche dal lavoro del matematico Albert Girard (1590-1633).

Le formule[modifica | modifica wikitesto]

Se

è un polinomio di grado con coefficienti complessi (ciòè i numeri sono complessi con ), per il teorema fondamentale dell'algebra ha radici complesse (non necessariamente distinte)

Le formule di Viète affermano che

Queste formule possono essere messe sotto un'unica forma

per ogni . In altre parole, la somma di tutti i possibili prodotti di radici di (con gli indici, di ogni prodotto, in ordine crescente così da evitare ripetizioni di monomi) equivale a

Questa formula di Viète vale, in forma più generale, per i polinomi con coefficienti in un qualsiasi anello commutativo, poiché in un tale anello un polinomio di grado ha radici.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per un polinomio di secondo grado , la formula di Viète afferma che le soluzioni e dell'equazione soddisfano

La prima di queste equazioni può essere usata per trovare il minimo (o il massimo) di P. Fai riferimento a polinomio di secondo ordine.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Viète può essere dimostrata rielaborando l'uguaglianza

 ;

questa è vera poiché sono tutte e sole le radici del polinomio in esame. Si tratta poi di sviluppare il prodotto a secondo membro dell'equazione e di identificare i coefficienti di ogni potenza della variabile

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Teorema binomiale[modifica | modifica wikitesto]

Queste formule possono essere usate per dimostrare il teorema binomiale. Il polinomio avrà infatti radici coincidenti (in particolare ). Poiché evidentemente il coefficiente di grado è , dalle formule di Viète si avrà che:

Il numero dei termini con da sommare in un membro è uguale a tutti i gruppi di termini su che si possono formare. Tale numero corrisponde a:

così le formule precedenti si possono riformulare nel seguente modo:

Quindi, moltiplicando eventualmente per entrambi i termini abbiamo che:

Ossia:

Coefficiente del termine di primo grado[modifica | modifica wikitesto]

Tramite queste formule si arriva a un risultato molto importante usato anche da Eulero nella sua soluzione del problema di Basilea, riguardante il coefficiente di primo grado. Infatti esso, per le formule di Viète, sarà uguale alla somma di tutti i termini formati dal prodotto di radici cambate di segno, moltiplicata per il coefficiente di -esimo grado; ossia:

Se il termine costante è pari a 1 si può dividere tutta l'espressione cambiata di segno per esso, che sempre per le formule di Viète:

E si ottiene:

L'opposto del rapporto tra coefficiente di primo grado e termine noto è uguale alla somma degli inversi delle radici. Da ciò deriva che, se un polinomio ha il termine costante uguale a 1, la somma degli inversi delle sue radici è uguale al coefficiente del termine lineare cambiato di segno.

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