Formula di Feynman-Kac

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In matematica, la formula di Feynman-Kac, il cui nome si deve ai suoi autori Richard Feynman e Mark Kac, è un'equazione che fornisce una rappresentazione della soluzione di alcune classi di equazioni alle derivate parziali (PDE) utilizzando le proprietà probabilistiche dei processi stocastici.

Equazione omogenea[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una PDE nella forma

sotto la condizione terminale

dove , e sono funzioni note, e è incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso

dove è un processo di Itō caratterizzato dall'equazione differenziale stocastica

.

Il valore atteso sopra può essere approssimato tramite metodi Monte Carlo o quasi-Monte Carlo.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La verifica della correttezza della soluzione procede applicando il lemma di Itō alla funzione incognita . Si ha

Il primo termine tra parentesi è la PDE in questione, ed è per ipotesi nullo. Integrando ambo i membri dell'espressione restante si ottiene

da cui, riorganizzando i termini e prendendo il valore atteso di ambo i membri

Poiché il valore atteso di un integrale di Itō rispetto al moto browniano è nullo, si ottiene la soluzione desiderata:

Estensione 1[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione sopra illustrata può essere estesa a una classe di PDE più ampia; è infatti possibile mostrare che l'equazione della forma

sotto la condizione terminale

ha per soluzione:

La dimostrazione di questo risultato procede sulla falsariga di quella esposta sopra, con la differenza che il lemma di Itō è applicato alla funzione

La soluzione di equazioni nella forma testé esaminata è frequente nell'ambito della finanza matematica; la celebre equazione di Black-Scholes, che determina il prezzo di non arbitraggio di uno strumento derivato, ha infatti tale forma.

Estensione 2[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la PDE

definita per ogni e ogni , soggetta alla condizione:

dove , sono funzioni note, è un parametro e l'incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso condizionato

rispetto alla misura di probabilità , tale per cui è un processo di Itō (processo di Wiener generalizzato) definito dall'equazione:

dove è un processo di Wiener (moto browniano) e la condizione iniziale per è .

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una soluzione dell'equazione. Applicando il lemma di Itō al processo:

si ottiene:

Dal momento che:

il terzo termine è e può essere trascurato. Si ha inoltre che:

Applicando nuovamente il lemma di Itō a segue cheIl primo termine contiene tra parentesi la PDE iniziale, ed è quindi nullo. Rimane

Integrando questa equazione da a si conclude che

Prendendo il valore atteso (condizionato su ) e osservando che il membro alla destra è un integrale di Itō, che ha valore atteso nullo, segue che:

Il risultato cercato si ottiene osservando che

ed infine:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Barry Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979.
  • (EN) B. C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013.
  • (EN) Huyên Pham, Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications, Springer-Verlag, 2009.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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