Formula di Feynman-Kac

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In matematica, la formula di Feynman-Kac, il cui nome si deve ai suoi autori Richard Feynman e Mark Kac, è un'equazione che fornisce una rappresentazione della soluzione di alcune classi di equazioni alle derivate parziali (PDE) utilizzando le proprietà probabilistiche dei processi stocastici.

Equazione omogenea[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una PDE nella forma:

\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0

sotto la condizione terminale:

f(x,T)=\psi(x)

dove \mu, \sigma e \psi sono funzioni note, e f è incognita. Il risultato di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso:

f(x,t)=\textrm{E}\left[\psi(X_{T})|X_t=x\right]

dove X è un processo di Itō caratterizzato dall'equazione differenziale stocastica:

dX = \mu(X,t)dt + \sigma(X,t)dW_t

Il valore atteso sopra può essere approssimato tramite metodi Monte Carlo o quasi-Monte Carlo.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La verifica della correttezza della soluzione procede applicando il lemma di Itō alla funzione incognita f. Si ha:

df=\left(\mu(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt+\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}dW_t

Il primo termine tra parentesi è la PDE in questione, ed è per ipotesi nullo. Integrando ambo i membri dell'espressione sopra si ottiene:

\int_t^T df=f(X_T,T)-f(x,t)=\int_t^T\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW_t

da cui, riorganizzando i termini e prendendo il valore atteso di ambo i membri:

f(x,t)=\textrm{E}\left[f(X_T,T)\right]-\textrm{E}\left[\int_t^T\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW_t\right]

Poiché il valore atteso di un integrale di Itō rispetto al moto browniano W_{t} è nullo, si ottiene la soluzione desiderata:

f(x,t)=\textrm{E}\left[f(X_T,T)\right]=\textrm{E}\left[\psi(X_T)\right]=\textrm{E}\left[\psi(X_{T})|X_t=x\right]

Estensione 1[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione sopra illustrata può essere estesa a una classe di PDE più ampia; è infatti possibile mostrare che l'equazione della forma:

\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-k(t)f(x,t)=0

sotto la condizione terminale:

\ f(x,T)=\psi(x)

ha per soluzione:

f(x,t)=\textrm{E}\left[\exp\left\{-\int_t^T k(\tau)d\tau\right\}\psi(X_T)|X_t=x\right]

La dimostrazione di questo risultato procede sulla falsariga di quella esposta sopra, con la differenza che il lemma di Itō è applicato alla funzione:

g(x,t)=f(x,t)\exp\left\{\int_t^T k(\tau)d\tau\right\}

La soluzione di equazioni nella forma testé esaminata è frequente nell'ambito della finanza matematica; la celebre equazione di Black-Scholes, che determina il prezzo di non arbitraggio di uno strumento derivato, ha infatti tale forma.

Estensione 2[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la PDE:

\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \tfrac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) -V(x,t) u(x,t) + f(x,t) = 0

definita per ogni x \in \R e ogni t \in [0,T], soggetta alla condizione:

u(x,T)=\psi(x)

dove \mu, \psi e V sono funzioni note, T è un parametro e  u:\mathbb{R}\times[0,T]\to\mathbb{R} l'incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso condizionato:

 u(x,t) = E^Q\left[ \int_t^T e^{-  \int_t^r V(X_\tau,\tau)\, d\tau}f(X_r,r)dr + e^{-\int_t^T V(X_\tau,\tau)\, d\tau}\psi(X_T) \Bigg| X_t=x \right]

rispetto alla misura di probabilità Q, tale per cui X è un processo di Itō (processo di Wiener generalizzato) definito dall'equazione:

dX = \mu(X,t)\,dt + \sigma(X,t)\,dW^Q

dove W^Q(t) è un processo di Wiener (moto browniano) e la condizione iniziale per X(t) è X(0)=x.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia u(x, t) una soluzione dell'equazione. Applicando il lemma di Itō al processo:

 Y(s) = e^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau} u(X_s,s)+ \int_t^s e^{-  \int_t^r V(X_\tau,\tau)\, d\tau}f(X_r,r)dr

si ottiene:

dY = de^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau} u(X_s,s) + e^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau}\,du(X_s,s) +de^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau}du(X_s,s) + d\int_t^s e^{-  \int_t^r V(X_\tau,\tau)\, d\tau}  f(X_r,r)dr

Dal momento che:

de^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau} =-V(X_s) e^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau} \,ds

il terzo termine è  o(dtdu) e può essere trascurato. Si ha inoltre che:

 d\int_t^s e^{-  \int_t^r V(X_\tau,\tau)\, d\tau}f(X_r,r)dr = e^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau} f(X_s,s) ds

Applicando nuovamente il lemma di Itō a du(X_s,s) segue che:

 dY=e^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau}\,\left(-V(X_s) u(X_s,s) +f(X_s,s)+\mu(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial X}+\frac{\partial u}{\partial s}+\tfrac{1}{2}\sigma^2(X_s,s)\frac{\partial^2 u}{\partial X^2}\right)\,ds + e^{- \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau}\sigma(X,s)\frac{\partial u}{\partial X}\,dW

Il primo termine contiene tra parentesi la PDE iniziale, ed è quindi nullo. Rimane:

dY=e^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau}\sigma(X,s)\frac{\partial u}{\partial X}\,dW

Integrando questa equazione da t a T si conclude che:

 Y(T) - Y(t) = \int_t^T e^{-  \int_t^s V(X_\tau,\tau)\, d\tau}\sigma(X,s)\frac{\partial u}{\partial X}\,dW

Prendendo il valore atteso (condizionato su X_t=x) e osservando che il membro alla destra è un integrale di Itō, che ha valore atteso nullo, segue che:

E[Y(T)|X_t=x] =  E[Y(t)|X_t=x] = u(x,t)

Il risultato cercato si ottiene osservando che:

E[Y(T)| X_t=x] = E \left [e^{-  \int_t^T V(X_\tau,\tau)\, d\tau} u(X_T,T) + \int_t^T e^{-  \int_t^r V(X_\tau,\tau)\, d\tau}f(X_r,r)dr \Bigg| X_t=x \right ]

ed infine:

 u(x,t) = E \left [e^{-  \int_t^T V(X_\tau,\tau)\, d\tau} \psi(X_T) + \int_t^T e^{-\int_t^s V(X_\tau,\tau)d\tau} f(X_s,s)ds \Bigg| X_t=x \right ]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Barry Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979.
  • (EN) B. C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013.
  • (EN) Huyên Pham, Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications, Springer-Verlag, 2009.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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