Formula dell'area di Gauss

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La formula dell'area di Gauss è un algoritmo matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane[1]. Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate corrispondenti seguendo uno schema simile a quello dei lacci della scarpa.

La formula può essere rappresentata dall'espressione:

dove

  • è l'area del poligono,
  • il numero di lati
  • , con sono i vertici del poligono.[2]

Oppure, servendosi delle sommatorie: , dove e indicano rispettivamente e .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione della formula si basa sul concetto di forma differenziale: il calcolo dell'area della figura è infatti la generalizzazione dell'integrazione utilizzata per il calcolo di una superficie.

Sia l'insieme dei punti appartenenti al poligono.

L'area è , dove è una 2-forma definita come .

Sia , con

Grazie a questa sostituzione,

ma, per il teorema di Green risulterà:

Il bordo della varietà considerata corrisponde all'unione dei segmenti che uniscono i vari punti: dove è il segmento che unisce il punto a .

Perciò

Sostituendo per , sarà

e, parametrizzando,

L'integrazione porta al risultato

che, semplificato con un po' di algebra elementare è

Q.E.D.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Si prenda un triangolo con vertici di coordinate . Si prenda la prima e la si moltiplichi per la seconda e così via. Si arriverà alla formula

dove e rappresentano le coordinate di un punto. Ma questo vale solo per i triangoli. Usando la formula, si trova che l'area del triangolo descritto sopra è uguale al valore assoluto della metà di , che è uguale a .

E così l'area del pentagono diventerà

e per il quadrilatero sarà

Si consideri il poligono di vertici , , , e illustrato qui sotto:

Figura di questo esempio

L'area del poligono vale:

Utilizzo con le matrici[modifica | modifica wikitesto]

Se si costruisce una matrice rettangolare dove siano indicate, su ogni riga, le coordinate di ogni vertice, avendo cura di riportare il primo vertice alla fine della lista, l'applicazione della formula risulterà notevolmente più semplice.

Sia il triangolo , , . La matrice da utilizzare sarà:

[3]

Innanzitutto si disegneranno dei trattini che uniscano, in diagonale i punti da sinistra a destra verso il basso, e viceversa (da destra a sinistra sempre verso il basso)

ShoelaceMatrix2.GIF

e si moltiplicheranno i due numeri connessi dalle linee, poi si calcolerà la somma dei prodotti

Lo stesso andrà fatto con le diagonali secondarie.

ShoelaceMatrix3.GIF

da cui si ha

Ora i due numeri vanno sottratti tra loro, e va considerato il valore assoluto della differenza (non esistono aree negative!): . Infine, dimezzando il risultato si ottiene l'area: .

Da questo sistema la formula prende il nome del "laccio di scarpa": infatti i trattini disegnati sulla matrice sembrano proprio i lacci di una scarpa.

Fonti[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Shoelace Theorem, artofproblemsolving.com.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ http://staff.imsa.edu/math/journal/volume2/articles/Shoelace.pdf
  2. ^ Geometry for Enjoyment and Challenge section 16.2
  3. ^ IMSA JHMC Guide, Page. 10 "Shoelace" by Cindy Xi
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