Fenomeni di trasporto

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I fenomeni di trasporto sono meccanismi di trasporto di quantità fisiche che presentano analogie nella loro natura a livello molecolare, nella loro descrizione come modello matematico e nella loro occorrenza nei processi di produzione industriale, biologici, agricoli od agroalimentari, e meteorologici.

Alcune discipline che sottendono il soggetto dei fenomeni di trasporto sono:

Questi meccanismi di trasporto elementari sono replicati in scala macroscopica nelle operazioni unitarie, il cui sfruttamento a livello industriale viene realizzato attraverso impianti ove si realizzino trasformazioni fisico-chimiche.

Modelli lineari di trasporto[modifica | modifica sorgente]

I tre meccanismi di trasporto possono essere descritti nell'approssimazione di corpo continuo da tre leggi lineari analoghe tra loro: la legge di Newton, la legge di Fourier e la legge di Fick.

Legge di Newton[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Legge di Newton (fluidodinamica).
Moto laminare tra due pareti, in cui è evidenziato lo sforzo e l'effetto di variazione della velocità del fluido.

La legge di Newton approssima linearmente la relazione tra la pressione applicata ad una parete che chiude da una parte un fluido e la variazione di velocità a distanza crescente dalla parete stessa. Se lo sforzo è diretto lungo l'asse x, si verifica che la velocità lungo l'asse y decresce, quindi:

\tau_{yx}= - \mu \frac{\partial v_x}{\partial y}.

dove:

  • τxy è lo sforzo (espressa in Pa nel SI) per una forza applicata lungo x su una superficie perpendicolare all'asse y;
  • vx è la velocità lungo x (espressa nel SI in m/s);
  • μ è la viscosità (espressa in Pa·s).

La stessa legge può essere interpretata come il flusso di quantità di moto diretto lungo y e dovuto ad un gradiente di velocità tra i diversi "piani" via via più distanti dalla pareti: letta in questa modo la legge descrive come ad una variazione imprevista dell'energia cinetica del sistema si oppone un flusso di quantità di moto atto a sopperire la variazione in corso. Questo costituisce il primo fenomeno di trasporto e la viscosità è pertanto anche detta proprietà di trasporto. Nello spazio tridimensionale, la legge diventa:

\tau= - \mu \nabla v

Legge di Fourier[modifica | modifica sorgente]

La legge di Fourier in una dimensione (x) caratterizza lo scambio termico (q) tra due sorgenti attraverso la superficie di scambio A.
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Scambio di calore e Conduzione termica.

La legge di Fourier asserisce che si instaura un flusso di calore q diretto in direzione opposta ad un gradiente di temperatura e proporzionale ad esso attraverso la costante di proporzionalità k, detta conducibilità termica. In termini matematici:

q  = - k \nabla T

L'interpretazione della legge nell'ottica dei fenomeni di trasporto vede quindi nella conducibilità termica la proprietà di trasporto.

Legge di Fick[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Scambio di materia e Leggi di Fick.

La legge di Fick afferma che in presenza di un gradiente di concentrazione, un flusso di materia J viene indotto in direzione ad esso opposta e proporzionale ad esso attraverso la costante di proporzionalità D, detta diffusività di materia. In termini matematici:

J = - D\nabla \C

La proprietà di trasporto è dunque la diffusività e la grandezza oggetto di trasporto è in questo caso la materia (con riferimento alle moli).

Analogie tra i fenomeni di trasporto[modifica | modifica sorgente]

Analogia tra le equazioni di trasporto[modifica | modifica sorgente]

La velocità di trasporto, sia essa riferita al trasporto di calore, di materia o di quantità di moto, è esprimibile dal rapporto tra una forza spingente e una resistenza al trasporto. Nei tre casi elencati, la forza spingente è rispettivamente il gradiente di temperatura, il gradiente di concentrazione, e il gradiente di velocità.[1]

Considerando il caso semplice del trasporto lungo una direzione qualsiasi, le tre equazioni di trasporto elencate (legge di Newton, legge di Fourier e legge di Fick) possono essere espresse da un'unica equazione:

\bar j_\psi = - d \, \nabla \psi

in cui:

  • \bar j_\psi è la densità di corrente (di calore, di materia o di quantità di moto) lungo la direzione x;
  •  d è la diffusività (di calore, di materia o di quantità di moto);
  • \psi è il potenziale (di calore, di materia o di quantità di moto).

Analogie tra i gruppi adimensionali[modifica | modifica sorgente]

Anche tra i gruppi adimensionali che descrivono le condizioni del trasporto delle tre quantità (calore, materia e quantità di moto) sussistono forti analogie. In particolare, la seguente tabelle mette a confronto in risalto l'analogia tra trasporto di calore e trasporto di materia:[2]

Trasporto di calore
Trasporto di materia
gruppo adimensionale
formula
significato fisico
gruppo adimensionale
formula
significato fisico
Fattore di Colburn J_H = Nu Re^{-1} Pr^{-1/3}
 = \frac{h}{\rho c_p v} \left( \frac{c_p \mu}{k} \right)^{2/3}
... Fattore J di materia J_M = Nu_{AB} Re^{-1} Sc^{-1/3}
 = \frac{k_x}{\rho c v} \left( \frac{\mu}{\rho D_{AB}} \right)^{2/3}
...
Numero di Prandtl Pr = \frac{c_p \mu}{k} rapporto tra diffusività di quantità di moto e diffusività di calore Numero di Schmidt Sc = \frac{\nu}{D_{AB}} rapporto tra diffusività di quantità di moto e diffusività di materia
Numero di Nusselt Nu = \frac{h D}{k} rapporto tra trasferimento convettivo e conduttivo di calore[3] Numero di Sherwood Sh = \frac{k_c D}{D_{AB}} rapporto tra trasferimento convettivo e diffusivo di materia[3]
Numero di Grashof Gr = \frac{\rho^2 g \beta \Delta T D^3}{\mu^2} rapporto tra forze di sollevamento e forze viscose Numero di Grashof di materia Gr_{AB} = \frac{\rho^2 g \zeta \Delta x_A D^3}{\mu^2} ...
Numero di Peclet Pe_H = Re Pr
 = \frac{v D}{(k / \rho c_p)}
rapporto tra trasporto di calore convettivo e trasporto di calore conduttivo Numero di Peclet Pe_M = Re Sc
 = \frac{v D}{D_{AB}}
...
Numero di Stanton St = \frac{Nu}{Re Pr}
 = \frac{h}{\rho c_p v}
... Numero di Stanton di materia St_{AB} = \frac{Sh}{Re Sc}
 = \frac{k_x}{c v}
...
Numero di Graetz Gz = \frac{m^* c_p}{k L} ... Numero di Graetz di materia Gz_{AB} = \frac{m^*}{\rho L D_{AB}} ...


Grazie alle analogie esistenti tra i diversi gruppi adimensionali, è possibile conoscere la soluzione di un problema a partire da un problema analogo, ad esempio possiamo ricavare il coefficiente di scambio di materia riconducendoci ad un problema analogo di scambio di calore.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ In generale si parla di gradiente anziché differenza. La forza spingente può anche essere data da una differenza media logaritmica.
  2. ^ Per il significato dei simboli, si rimanda alle singole voci.
  3. ^ a b in regime turbolento

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • R. Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Lightfoot in Enzo Sebastiani (a cura di), Fenomeni di trasporto, Milano, Casa editrice ambrosiana, 1979. ISBN 88-408-0051-4.
  • (EN) Frank P. Incropera, David P. DeWitt; Theodore L. Bergman; Adrienne S. Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6ª ed., Wiley, 2006. ISBN 0-471-45728-0.
  • (EN) C.J. Geankoplis, Transport processes and separation process principles, 4ª ed., 2003.
  • (EN) S. Chapman, T.G. Cowling, The mathematical theory of nonuniform gases, Cambridge, Cambridge University Press, 1939.
  • (EN) J.O. Hirschfelder, Charles Francis Curtiss, Robert Byron Bird, Molecular theory of gases and liquids, New York, Wiley, 1954.
  • (EN) L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fluid mechanics, Londra, Pergamon Press, 1959.
  • (EN) V.G. Levich, Physicochemical hydrodynamics, Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1962.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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