Equazione xʸ = yˣ

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In generale, l'elevamento a potenza non gode della proprietà commutativa. Tuttavia, l'equazione vale in casi speciali, come

Storia[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione è menzionata in una lettera di Daniel Bernoulli a Christian Goldbach del 29 giugno 1728.[1] La lettera afferma che quando le uniche soluzioni nell'insieme dei numeri naturali sono e sebbene ci siano infinite soluzioni nell'insieme dei numeri razionali, come

La risposta di Goldbach, del 31 gennaio 1729, contiene la soluzione generale dell'equazione, ottenuta con la sostituzione Una soluzione simile è stata trovata da Eulero.

J. van Hengel ha sottolineato che se sono numeri interi positivi con , allora ; quindi è sufficiente considerare le possibilità e per trovare soluzioni nei numeri naturali.

Il problema è stato discusso in numerose pubblicazioni. Nel 1960, l'equazione era tra le domande sulla William Lowell Putnam Competition,[2] che spinse Alvin Hausner a estendere i risultati ai campi di numeri algebrici.[3]

Soluzioni reali positive[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme infinito di soluzioni banali nei numeri reali positivi è dato da Le soluzioni non banali possono essere scritte esplicitamente come:

Qui, e rappresentano i rami negativi e principali della funzione W di Lambert.

Soluzioni non banali possono essere trovate più facilmente assumendo e ponendo Ne segue

Elevando entrambi termini alla e dividendo per , si ottiene

Quindi le soluzioni non banali nei reali positivi sono espresse come

Ponendo o si ottiene la soluzione non banale negli interi positivi:

Esistono altre coppie costituite da numeri algebrici, come e , così come e .

La parametrizzazione di cui sopra porta a una proprietà geometrica di questa curva: descrive la curva isoclina dove le funzioni potenza della forma hanno coefficiente angolare per una scelta reale positiva di . Per esempio, ha un coefficiente angolare di nel punto che è anche un punto sulla curva

Le soluzioni banali e non banali si intersecano quando Le equazioni precedenti non possono essere calcolate direttamente, ma si può prendere il limite per Questo è più convenientemente fatto sostituendo e mandando , così

Quindi, la retta e la curva con si intersecano in

Per , la soluzione non banale è asintotica alla retta Una forma asintotica più completa è

Grafici simili[modifica | modifica wikitesto]

Equazione y1/x=x1/y[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione ha un grafico in cui la curva con e la retta si intersecano nel punto . Inoltre la curva con termina in e in invece di continuare all'infinito.

La curva con può essere scritta esplicitamente come

Questa equazione descrive la curva isoclina in cui le funzioni potenza hanno coefficiente angolare 1, analoga alla proprietà geometrica di descritta sopra.

L'equazione mostra una curva identica.

Equazione logx(y)=logy(x)[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione ha un grafico in cui la curva con e la retta si intersecano in La curva con è asintotica a 0; è, infatti, il ramo nel primo quadrante dell'iperbole

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marta Sved, On the Rational Solutions of x^y = y^x, in Mathematics Magazine, 63, pagine: 30-33, 1990, DOI:10.2307/2691508.
  2. ^ 21st Putnam 1960, su kalva.demon.co.uk (archiviato dall'url originale il 5 marzo 2007).
  3. ^ Alvin Hausner, Algebraic Number Fields and the Diophantine Equation mn = nm, in The American Mathematical Monthly, vol. 68, n. 9, novembre 1961, pp. 856–861, DOI:10.1080/00029890.1961.11989781, ISSN 0002-9890 (WC · ACNP).

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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