Equazione di Eulero

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In matematica, l'equazione di Eulero o equazione di Eulero-Cauchy è un'equazione differenziale ordinaria omogenea a coefficienti variabili della forma:

x^n y^{(n)}(x) + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_{n-1} x y'(x) + a_{n} y(x) = 0

La sostituzione x=e^u mostra che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma:

x^{\lambda}\log^m x

ove \lambda è un numero complesso e m è un intero non negativo.

Nella sua forma più generale (non omogenea):

\sum_{i=0}^n a_i x^i y^{(i)}(x) = f(x) \qquad a_n \ne 0

è stata studiata da Eulero a partire dal 1740.

Equazione del secondo ordine[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Eulero più comune è quella di secondo grado:

x^{2} y'' + a_{1} x y' + a_{2} y = 0

ove a_1 e a_2 sono numeri reali. Viene utilizzata in svariati contesti, ad esempio nello studio dell'equazione di Laplace.

Assumendo che l'equazione ammetta una soluzione banale del tipo:

y = x^m

differenziando si ha:

\frac{dy}{dx} = mx^{m-1} \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = m(m-1)x^{m-2}

Sostituendo nell'equazione di partenza:

x^2( m(m-1)x^{m-2} ) + ax( mx^{m-1} ) + b( x^m ) = 0

e riordinando i termini:

m^2 + (a-1)m + b = 0

Si può ora risolvere in funzione di m, ottenendo tre casi di particolare interesse:

  • Caso 1: si hanno due radici distinte m_1 e m_2.
  • Caso 2: si ha una radice reale m ripetuta.
  • Caso 3: si hanno due radici complesse \alpha \pm \beta_i

Nel primo caso la soluzione è:

y = c_1 x^{m_{1}} + c_2 x^{m_2}

Nel secondo è:

y = c_1 x^m \ln(x) + c_2 x^m

Per ottenere questa soluzione si deve applicare il metodo di riduzione dell'ordine dopo aver trovato una soluzione y=x^m.

Nel terzo caso la soluzione è:

y = c_1 x^\alpha \cos(\beta \ln(x)) + c_2 x^\alpha \sin(\beta \ln(x))

con:

\alpha = \mathop{\rm Re}(m) \qquad \beta = \mathop{\rm Im}(m)

Per c_1\, e c_2\, nel piano reale. Questa forma si ottiene ponendo x=e^t ed utilizzando la formula di Eulero.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 10 maggio 2006, ISBN 978-0-470-08484-7.
  • (EN) Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, 1950.
  • (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

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