Equazione di Eulero

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In matematica, l'equazione di Eulero o equazione di Eulero-Cauchy è un'equazione differenziale ordinaria omogenea a coefficienti variabili della forma:

La sostituzione mostra che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma:

ove è un numero complesso e è un intero non negativo.

Nella sua forma più generale (non omogenea):

è stata studiata da Eulero a partire dal 1740.

Equazione del secondo ordine[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Eulero più comune è quella di secondo grado:

ove e sono numeri reali. Viene utilizzata in svariati contesti, ad esempio nello studio dell'equazione di Laplace.

Assumendo che l'equazione ammetta una soluzione banale del tipo:

differenziando si ha:

Sostituendo nell'equazione di partenza:

e riordinando i termini:

Si può ora risolvere in funzione di , ottenendo tre casi di particolare interesse:

  • Caso 1: si hanno due radici distinte e .
  • Caso 2: si ha una radice reale ripetuta.
  • Caso 3: si hanno due radici complesse

Nel primo caso la soluzione è:

Nel secondo è:

Per ottenere questa soluzione si deve applicare il metodo di riduzione dell'ordine dopo aver trovato una soluzione .

Nel terzo caso la soluzione è:

con:

Per e nel piano reale. Questa forma si ottiene ponendo ed utilizzando la formula di Eulero.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 10 maggio 2006, ISBN 978-0-470-08484-7.
  • (EN) Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, 1950.
  • (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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