Equazione del trasporto

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In matematica, l'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine, utilizzata in particolare per descrivere i fenomeni di trasporto, come la trasmissione del calore o lo scambio di materia.

Formulazione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali lineare, che, nel caso di coefficienti costanti, assume la forma:[1]

dove è il gradiente e

è la funzione incognita nelle variabili posizione e tempo , mentre ed è il termine sorgente, che condivide con dominio e codominio.

Soluzione per l'equazione omogenea[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione del trasporto omogenea ha la forma:

L'equazione esprime il fatto che esiste una derivata direzionale di nulla, ovvero in tutto lo spazio-tempo la funzione incognita è sempre costante in una certa direzione.[2]

Si consideri il generico punto e si definisca la funzione:

con reale.

Il differenziale di tale funzione è:

Essendo:

la derivata totale rispetto a è:

L'annullarsi è dovuto alla linearità dell'equazione omogenea, e quindi è una funzione costante nella variabile . Questo significa che è una funzione costante in ogni punto nella direzione : tale direzione è una retta se è costante, ed è parametrizzata da . Conoscendo il valore di lungo tale direzione, in particolare, si conosce il valore di in tutto il dominio.[2]

Si ponga come condizione al contorno che nel punto si abbia , con nota. La direzione di interseca il piano quando , e quindi:

da cui segue che:

Se è una funzione differenziabile, la soluzione è in senso classico.

Soluzione per l'equazione non omogenea[modifica | modifica wikitesto]

Il termine sorgente è detto anche forzante, mentre la condizione iniziale impone che nel punto si abbia . Questi assunti costituiscono i dati del problema, che per essere ben posto richiede che la soluzione sia unica e dipendente con continuità da tali dati.[3]

Si ponga, come nel caso della soluzione per l'equazione omogenea:

Si ha:

Dal momento che:

si ottiene:[1]

e quindi, considerando il terzo ed il quinto termine:

La procedura utilizzata, che permette di convertire l'equazione alle derivate parziali in un'equazione differenziale ordinaria, è un caso particolare del metodo delle caratteristiche.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Evans, Pag. 19
  2. ^ a b Evans, Pag. 18
  3. ^ Evans, Pag. 7

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]