Equazione biarmonica

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In matematica, l'equazione biarmonica è un'equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine utilizzata frequentemente nella meccanica del continuo. Una soluzione dell'equazione biarmonica è detta funzione biarmonica; ogni funzione biarmonica è una funzione armonica, ma non vale il viceversa.

L'equazione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione biarmonica ha la forma:

oppure:

o anche:

dove è la quarta potenza dell'operatore nabla, cioè il quadrato del laplaciano (indicato anche con ). Un tale operatore differenziale è anche detto operatore bilaplaciano o operatore biarmonico. In una diversa notazione può essere scritto in dimensioni come:

Ad esempio, nel caso tridimensionale e in coordinate cartesiane:

Un altro esempio in dimensioni si trova considerando:

dove:

Per i soli valori e diventa l'equazione biarmonica.

Equazione in due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

In coordinate polari bidimensionali l'equazione biarmonica assume la forma:

e può essere risolta tramite separazione delle variabili, ottenendo la soluzione di Michell.

La soluzione generale in due dimensioni è:

dove , e sono funzioni armoniche e è il coniugato armonico di .

La forma generale per una funzione biarmonica in due variabili si può scrivere anche come:

dove e sono funzioni analitiche.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
  • (EN) S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
  • (EN) J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987, ISBN 0-486-65407-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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