Elicità idrodinamica

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In fluidodinamica, l’elicità idrodinamica è, sotto appropriate condizioni, un'invariante delle equazioni di Eulero del flusso dei fluidi, che ha interpretazione topologica come misura del link o della nodosità delle linee di vortice di un flusso.[1]

Formalismo matematico[modifica | modifica wikitesto]

Sia il campo di velocità e il corrispondente campo di vorticità. Sotto le seguenti tre condizioni, le linee di vortice sono trasportate con il sistema:

  1. il fluido è inviscido;
  2. il fluido incompressibile () o è compressibile con la relazione barotropica tra la pressione e la densità ;
  3. le forze che agiscono sul fluido sono conservative.

Sotto queste condizioni, ogni superficie chiusa sulla quale è, come la vorticità, trasportata con il flusso.

Sia il volume all'interno di tale superficie; allora l'elicità in è definita da

Per una distribuzione localizzata della vorticità in un fluido non confinato, si può considerare come l'intero spazio e è allora l'elicità totale del flusso. è invariante in quanto le linee di vorticità sono congelate nel flusso e il loro link e la nodosità sono perciò conservati, come riconosciuto già da Lord Kelvin nel 1868. L'elicità è una quantità pseudo scalare in quanto cambia di segno nel variare il sistema di riferimento da destrorso a sinistrorso; può quindi essere considerata una misura della chiralità del flusso. L'elicità, assieme all'energia, alla quantità di moto e al momento angolare, sono le sole invarianti integrali conosciute delle equazioni di Eulero.

Per due tubi di vorticità con link ma senza incroci che hanno circolazioni e senza torsioni interne, l'elicità è data da

,

dove è il numero di incroci dei due tubi, mentre il segno più o il segno meno dipendono dal fatto che il link sia destrorso o sinistrorso.

Per un tubo di vorticità con un solo nodo e circolazione , l'elicità è data da[2]

,

dove e sono rispettivamente le contorsioni (writhe) e le torsioni (twist) del tubo. La somma è invariante sotto una deformazione continua del tubo.

L'invarianza dell'elicità è un punto fondamentale della fluidodinamica topologica della magnetoidrodinamica, collegata alle proprietà globali dei flussi e delle loro caratteristiche topologiche.

Meteorologia[modifica | modifica wikitesto]

In meteorologia,[3] l'elicità corrisponde al trasferimento di vorticità dall'ambiente a una particella d'aria in moto convettivo. La definizione matematica semplificata di elicità che utilizza solamente la componente orizzontale del vento e la vorticità è data da:

In base a questa formula, se un vento orizzontale non cambia direzione con l'altitudine, H sarà uguale a zero poiché e sono perpendicolari tra loro e questo rende nullo il loro prodotto scalare. H invece è positivo se il vento ruota in senso orario all'aumentare dell'altitudine, negativo se ruota in senso antiorario. L'elicità utilizzata in meteorologia ha unità di energia per unità di massa () e quindi viene interpretata come una misura del trasferimento di energia da parte del wind shear con l'altitudine e la direzionalità.

Questa nozione di elicità è usata per predire la possibilità di formazione di tornado in un temporale. In questo caso, l'integrazione verticale è limitata al di sotto della sommità delle nubi (in genere 3 km) e la componente orizzontale del vento viene calcolata relativamente al temporale sottraendone la velocità di avanzamento:

Negli USA i valori critici di "elicità relativa a una tempesta" SRH (Storm Relative Helicity) per lo sviluppo di tornado sono:[4]

  • SRH = 150-299 ... possibile formazione di supercelle con deboli tornado secondo la scala Fujita
  • SRH = 300-499 ... molto favorevole alla formazione di supercelle e forti tornado
  • SRH > 450 ... violenti tornado
  • Se viene utilizzata solo al di sotto di 1 km, il valore di soglia minima è fissato a 100.

L'elicità tuttavia non è la sola componente dei forti temporali,[5] e per questo motivo è stato creato l'Indice di elicità e energia (EHI, Energy Helicity Index) che è dato dal prodotto dell'SRH moltiplicato per l'energia potenziale convettiva disponibile CAPE (Convective Available Potential Energy) e diviso per un valore di soglia:

Questo incorpora non solo l'elicità, ma anche l'energia della particella d'aria cercando così di eliminare i bassi potenziali di temporali anche in regioni a forte SRH. I valori critici di EHI sono:

  • EHI = 1 ... possibili tornado
  • EHI = 1-2 ... tornado da moderati a forti
  • EHI > 2 ... forti tornado

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Moffatt, H.K. (1969), The degree of knottedness of tangled vortex lines. J. Fluid Mech. 35, pp. 117–129.
  2. ^ Moffatt, H.K. & Ricca, R.L. (1992), Helicity and the Cǎlugǎreanu Invariant. Proc. R. Soc. Lond. A, 439, pp. 411–429.
  3. ^ Martin Rowley, Definitions of terms in meteorology, su homepage.ntlworld.com. URL consultato il 15 luglio 2006 (archiviato dall'url originale il 16 maggio 2006).
  4. ^ Storm Prediction Center, EXPLANATION OF SPC SEVERE WEATHER PARAMETERS, National Weather Service. URL consultato il 15 luglio 2006.
  5. ^ Storm Relative Helicity, NOAA. URL consultato l'8 agosto 2014.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Batchelor, G.K., (1967, reprinted 2000) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press
  • Ohkitani, K., Elementary Account Of Vorticity And Related Equations. Cambridge University Press. January 30, 2005. ISBN 0-521-81984-9
  • Chorin, A.J., Vorticity and Turbulence. Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. March 1, 1994. ISBN 0-387-94197-5
  • Majda, A.J. & Bertozzi, A.L., Vorticity and Incompressible Flow. Cambridge University Press; 1st edition. December 15, 2001. ISBN 0-521-63948-4
  • Tritton, D.J., Physical Fluid Dynamics. Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN 0-19-854493-6
  • Arfken, G., Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-12-059820-5
  • Moffatt, H.K. (1969), The degree of knottedness of tangled vortex lines. J. Fluid Mech. 35, pp. 117–129.
  • Moffatt, H.K. & Ricca, R.L. (1992), Helicity and the Cǎlugǎreanu Invariant. Proc. R. Soc. Lond. A, 439, pp. 411–429.
  • Thomson, W. (Lord Kelvin) (1868), On vortex motion. Trans. Roy. Soc. Edin.. 25, pp. 217–260.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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