Effetto moiré

Effetto moiré ottenuto dalla sovrapposizione di due trame di tende.

Con effetto moiré si indica una figura di interferenza, creata ad esempio da due griglie uguali sovrapposte con diversa angolatura, o anche da griglie parallele con maglie distanziate in modo leggermente diverso .

Il termine ha origine dal francese moiré, un tipo di tessuto, tradizionalmente di seta (ma ora anche in cotone o fibra sintetica), con un effetto cangiante che ricorda le onde o l'acqua, ottenuto con una apposita calandratura in fase di finissaggio. Questo può così oggi imitare, con tessuti economici, l'effetto dei broccati e delle sete.

È un termine usato anche in tipografia, è l'effetto che si ha quando le separazioni in quadricromia non vengono stampate a registro e può capitare che le retinature diano la percezione visiva di un effetto moiré detto anche non a registro. Questo effetto indesiderato si verifica quando si riproduce, mediante retinatura, una immagine già retinata. Si può ovviare a questo problema dando una diversa inclinazione alla retinatura, o cambiando la densità del retino.

Moiré di reticoli paralleli

Approccio geometrico

I reticoli sono sovrapposti nella parte centrale della figura.

Un motivo moiré, formato da due fasci di rette parallele, incidenti ad un angolo di 5°.

Consideriamo due reticoli formati da linee parallele ed equidistanti, ad esempio linee verticali. Il passo del primo reticolo è $p$, mentre il passo del secondo è $p+\delta p$, con $0<\delta p<p$.

Se le linee dei due reticoli coincidono sul lato sinistro della figura, lo scostamento tra di esse aumenta procedendo verso destra. Dopo un certo numero di linee, i reticoli risultano «opposti»: le linee del secondo cadono intermedie rispetto a quelle del primo. Osservando il sistema da una certa distanza, si percepiscono «zone chiare» quando le linee sono sovrapposte (si vede bianco fra di esse) e «zone scure» quando risultano «opposte».

Il centro della prima «zona scura» si ha quando lo scostamento è pari a ${\tfrac {p}{2}}$. La $n$-esima linea del secondo reticolo è traslata di $n,\delta p$ rispetto alla $n$-esima linea del primo. Il centro della prima «zona scura» soddisfa dunque: $$n\cdot \delta p={\frac {p}{2}}$$ ossia: $$n={\frac {p}{2,\delta p}}.$$ La distanza $d$ tra il centro di una «zona chiara» e di una «zona scura» è: $$d=n\cdot (p+\delta p)={\frac {p^{2}}{2,\delta p}}+{\frac {p}{2}}$$

La distanza fra i centri di due «zone scure» consecutive, uguale alla distanza fra due «zone chiare», è:

$$2d={\frac {p^{2}}{\delta p}}+p$$

Da questa formula si osserva che:

• maggiore è il passo, maggiore è la distanza tra «zone chiare» e «zone scure»;
• maggiore è la discrepanza $\delta p$, più ravvicinate risultano le «zone chiare» e le «zone scure»; un grande intervallo tra le «zone» indica passi molto simili nei due reticoli.

Il principio del moiré è analogo a quello d'un nonio (scala di Vernier).

Approccio alla funzione matematica

Schema del pattern moiré (in basso) creato sovrapponendo due griglie (in alto e al centro)

L'essenza dell'effetto moiré è la percezione (principalmente visiva) di un terzo pattern distintamente diverso, causato dalla sovrapposizione imprecisa di due pattern simili. La rappresentazione matematica di questi pattern non è facilmente ottenibile e può sembrare alquanto arbitraria. In questa sezione forniremo un esempio matematico di due pattern paralleli la cui sovrapposizione forma un pattern moiré, e mostreremo uno dei molti modi in cui questi pattern e l'effetto moiré possono essere resi matematicamente.

La visibilità di questi pattern dipende dal mezzo o dal substrato su cui appaiono, e questi possono essere opachi (ad esempio, sulla carta) o trasparenti (come nel caso dei film plastici). Per scopi di discussione, presumeremo che i due pattern primari siano stampati ciascuno in scala di grigi su un foglio bianco, dove l'opacità (ad esempio, la tonalità di grigio) della parte «stampata» è data da un valore compreso tra 0 (bianco) e 1 (nero) inclusi, con ${\frac {1}{2}}$ che rappresenta il grigio neutro. Qualsiasi valore inferiore a 0 o maggiore di 1 usando questa scala di grigi è essenzialmente «non stampabile».

Sceglieremo anche di rappresentare l'opacità del pattern risultante dalla stampa di un pattern sopra l'altro in un dato punto del foglio come la media (cioè la media aritmetica) dell'opacità di ciascun pattern in quella posizione, che è la metà della loro somma, e, come calcolato, non supera 1. (Questa scelta non è unica. Qualsiasi altro metodo per combinare le funzioni che soddisfi il vincolo di mantenere il valore della funzione risultante nell'intervallo $[0,1]$ sarà valido; la media aritmetica ha il vantaggio della semplicità—con sperabilmente un danno minimo ai concetti del processo di stampa.)

Ora consideriamo la «stampa» della sovrapposizione di due pattern quasi simili, che variano sinusoidalmente in scala di grigi, per mostrare come producono un effetto moiré stampando prima un pattern sulla carta, e poi stampando l'altro pattern sopra il primo, mantenendo gli assi delle coordinate in registro. Rappresentiamo l'intensità del grigio in ciascun pattern con una funzione positiva di opacità rispetto alla distanza lungo una direzione fissa (ad esempio, la coordinata $x$) nel piano della carta, nella forma

$f={\frac {1+\sin(kx)}{2}}$

dove la presenza del 1 mantiene la funzione definita positivamente, e la divisione per 2 impedisce che i valori della funzione superino 1.

La quantità $k$ rappresenta la variazione periodica (cioè, la frequenza spaziale) dell'intensità di grigio del pattern, misurata come il numero di cicli di intensità per unità di distanza. Poiché la funzione seno è ciclica su modifiche dell'argomento di $2\pi$, l'incremento di distanza $\Delta x$ per ciclo di intensità (la lunghezza d'onda) si ottiene quando $k\Delta x=2\pi$, oppure $\Delta x=2\pi /k$.

Consideriamo ora due di questi pattern, dove uno ha una variazione periodica leggermente diversa dall'altro:

${\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1+\sin(k_{1}x)}{2}}\\f_{2}&={\frac {1+\sin(k_{2}x)}{2}}\end{aligned}}$

tali che $k_{1}\approx k_{2}$.

La media di queste due funzioni, che rappresenta l'immagine stampata sovrapposta, si calcola come segue (vedi identità inverse qui: Algoritmo di prostaferesi):

${\begin{aligned}f_{3}&={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin(k_{1}x)+\sin(k_{2}x)}{4}}\\&={\frac {1+\sin(Ax)\cos(Bx)}{2}}\end{aligned}}$

dove è facilmente mostrato che

$A={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}$

e

$B={\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}$

Questa media della funzione, $f_{3}$, chiaramente rientra nell'intervallo $[0,1]$. Poiché la variazione periodica $A$ è la media di e quindi vicina a $k_{1}$ e $k_{2}$, l'effetto moiré è distintamente dimostrato dalla funzione sinusoidale battimento $\cos(Bx)$, la cui variazione periodica è metà della differenza delle variazioni periodiche $k_{1}$ e $k_{2}$ (e evidentemente molto più bassa in frequenza).

Altri effetti moiré unidimensionali includono il classico tono di frequenza battimento che si sente quando due note pure di altezza quasi identica vengono suonate contemporaneamente. Questa è una versione acustica dell'effetto moiré nella dimensione unidimensionale del tempo: le due note originali sono ancora presenti—ma la «percezione» dell'ascoltatore è di due altezze che sono la media e metà della differenza delle frequenze delle due note. L'aliasing nel campionamento di segnali variabili nel tempo appartiene anche a questo paradigma moiré.

Voci correlate

• Aliasing
• Battimento (fisica)
• Stampa lenticolare
• Trasformata di Fourier

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) moiré pattern, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Effetto moiré, su MathWorld, Wolfram Research.
• The Moiré Museum: Vari effetti moiré con illustrazioni in grafica vettoriale su sqrt.ch. (EN)