E6 (matematica)

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In matematica, E₆ è la sigla che contraddistingue un gruppo di Lie e la sua algebra di Lie ${\mathfrak {e}}_{6}$. Il gruppo E6 è uno dei cinque gruppi di Lie semplici eccezionali e uno dei gruppi semplicemente allacciati.

E₆ ha rango 6 e dimensione 78. Il suo centro è il gruppo ciclico Z₃. Il suo gruppo di automorfismo esterno è il gruppo ciclico Z₂. La sua rappresentazione fondamentale ha 27 dimensioni (complesse) e la sua rappresentazione duale, che non è equivalente alla precedente, ha anch'essa 27 dimensioni.

Nella fisica delle particelle E₆ gioca un ruolo di rilievo in alcune grandi teorie unificate.

Algebra

Diagramma di Dynkin

Radici di E₆

Sebbene generino uno spazio a sei dimensioni, possono essere considerati meglio e in modo più simmetrico come vettori di un sottospazio a sei dimensioni di uno spazio di dimensione nove:

(1,-1,0;0,0,0;0,0,0), (-1,1,0;0,0,0;0,0,0),

(-1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,-1;0,0,0;0,0,0),

(0,1,-1;0,0,0;0,0,0), (0,-1,1;0,0,0;0,0,0),

(0,0,0;1,-1,0;0,0,0), (0,0,0;-1,1,0;0,0,0),

(0,0,0;-1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,-1;0,0,0),

(0,0,0;0,1,-1;0,0,0), (0,0,0;0,-1,1;0,0,0),

(0,0,0;0,0,0;1,-1,0), (0,0,0;0,0,0;-1,1,0),

(0,0,0;0,0,0;-1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,-1),

(0,0,0;0,0,0;0,1,-1), (0,0,0;0,0,0;0,-1,1),

Tutte le 27 combinazioni di $(\mathbf {3} ;\mathbf {3} ;\mathbf {3} )$ dove $\mathbf {3}$ è una delle terne $({\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}})$, $(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}})$, $(-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}})$

Tutte le 27 combinazioni of $(\mathbf {\bar {3}} ;\mathbf {\bar {3}} ;\mathbf {\bar {3}} )$ dove $\mathbf {\bar {3}}$ è una delle terne $(-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}})$, $({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}})$, $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}})$

Radici semplici

(0,0,0;0,0,0;0,1,-1)

(0,0,0;0,0,0;1,-1,0)

(0,0,0;0,1,-1;0,0,0)

(0,0,0;1,-1,0;0,0,0)

(0,1,-1;0,0,0;0,0,0)

$({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}})$

Gruppo di Weyl/Coxeter

Il suo gruppo di Weyl/Coxeter è il gruppo di simmetria del politopo E6.

Matrice di Cartan

${\begin{pmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&-1&0\\0&0&-1&2&0&0\\0&0&-1&0&2&-1\\0&0&0&0&-1&2\end{pmatrix}}$