Duration

In matematica finanziaria, la duration, o durata media finanziaria, di Macualay di un singolo titolo, o di un portafoglio di titoli, è una media dei tempi in cui si ricevono i flussi finanziari che caratterizzano un investimento, ponderata per il valore attuale di ciascun flusso rispetto al valore attuale dell’intera operazione.

Normalmente una duration maggiore si accompagna ad un rischio finanziario maggiore del titolo; ciò significa che ad un movimento dei tassi si accompagna un movimento del prezzo del titolo tanto più pronunciato quanto più alta è la duration del titolo stesso.

Definizione formale

Sia ${\underline {x}}$ il flusso finanziario generato da un singolo titolo obbligazionario o da un portafoglio di titoli obbligazionari, caratterizzato dalle poste monetarie certe e non-negative $x_{1}$, $x_{2}$, $\dots$, $x_{m}$, disponibili rispettivamente ai tempi $t_{1}$, $t_{2}$, $\dots$, $t_{m}$.

Sia $t$ un istante di valutazione che precede tutte i tempi del flusso ${\underline {x}}$ e sia $v(t,s)$ con $t\leq s$ la struttura per scadenza dei prezzi a pronti di titolo a cedola nulla unitari vigente al tempo $t$ nel mercato. In particolare:

$v(t,s)=\left[1+i(t,s)\right]^{-(s-t)}$

dove $i(t,s)$ è il tasso a pronti in base annua in vigore nel mercato al tempo $t$ per la scadenza $s$.

Il prezzo di mercato al tempo $t$ del flusso ${\underline {x}}$ è allora:

$V(t,{\underline {x}})=\sum _{k=1}^{m}x_{k}v(t,t_{k})$

La sua duration in $t$ è definita come:

$D(t,{\underline {x}})={\sum _{k=1}^{m}(t_{k}-t)x_{k}v(t,t_{k}) \over \sum _{k=1}^{m}x_{k}v(t,t_{k})}$

È possibile scrivere la formula in un altro modo:

$D(t,{\underline {x}})=\sum _{k=1}^{m}(t_{k}-t)\cdot p_{k}$ , con $p_{k}={V(t,x_{k}) \over V(t,{\underline {x}})}$

Si ottiene la stessa identica quantità, ma espressa come media ponderata degli scarti temporali, dove i pesi coincidono ai prezzi di mercato delle poste del flusso, normalizzati rispetto al prezzo totale.

Dunque, $D(t,{\underline {x}})$ si misura in unità temporali (tipicamente in anni) e soddisfa la disuguaglianza :$t_{1}-t\leq D(t,{\underline {x}})\leq t_{m}-t$. In pratica, la duration di Macaulay è una media dei tempi in cui si ricevono i flussi finanziari che caratterizzano un investimento ponderata per il prezzo di ciascun flusso rispetto al prezzo totale del flusso.

Se la struttura dei tassi d’interesse è costante ad un livello $i$, ovvero se vale $i(t,s)=i$ con $t\leq s$, si ha la duration in struttura piatta (o flat yield curve duration), e la formula generale si semplifica in:

$D(t,{\underline {x}})={\sum _{k=1}^{m}(t_{k}-t)\cdot x_{k}\cdot (1+i)^{-(t_{k}-t)} \over \sum _{k=1}^{m}x_{k}\cdot (1+i)^{-(t_{k}-t)}}$

Nel caso di importi periodici (cioè quando $t_{k}=t+k$), la formula diventa:

$D(t,{\underline {x}})={\sum _{k=1}^{m}k\cdot x_{k}\cdot (1+i)^{-k} \over \sum _{k=1}^{m}x_{k}\cdot (1+i)^{-k}}$.

Duration come indice di sensibilità a variazioni dei tassi

La duration, è nella prassi utilizzata come misura di sensibilità del valore di un portafoglio titoli rispetto a variazioni dei tassi d'interesse. Tale uso della duration può essere giustificato come segue; si assuma che la struttura per scadenza dei tassi di interesse sia piatta al livello $i$ e si consideri la derivata parziale di $V(t,{\underline {x}})$ rispetto al tasso d'interesse $i$:

${\frac {\partial }{\partial i}}V(t,{\underline {x}})=-\sum _{k=1}^{m}(t_{k}-t)x_{k}\cdot (1+i)^{-(t_{k}-t)-1}=-{\frac {D(t,{\underline {x}})}{1+i}}V(t,{\underline {x}})$

Prendendo per buona un'approssimazione del primo ordine e passando dalle differenze infinitesimali a quelle discrete, si ha:

$\Delta V(t,{\underline {x}})\approx -{1 \over 1+i}D(t,{\underline {x}})V(t,{\underline {x}})\Delta i$.

Duration modificata

L'espressione $D^{*}(t,{\underline {x}})={\frac {1}{1+i}}D(t,{\underline {x}})$ è spesso chiamata duration "modificata".

In ipotesi di struttura piatta e accettando un'approssimazione del primo ordine, si ha

$\Delta V(t,{\underline {x}})\approx -D^{*}(t,{\underline {x}})V(t,{\underline {x}})\Delta i$.

Prendendo per buona un'approssimazione del primo ordine e passando dalle differenze infinitesimali a quelle discrete, si ha:

$\Delta V(t,{\underline {x}})\approx -D^{*}(t,{\underline {x}})V(t,{\underline {x}})\Delta i$.

Dunque la variazione nel prezzo di mercato $\Delta V$ in risposta a una variazione $\Delta i$ è (approssimativamente) proporzionale a ${\textstyle -D^{*}(t,{\underline {x}})V(t,{\underline {x}})}$. Questo risultato è alla base del teorema di immunizzazione di Fisher e Weil.

Nella pratica, la duration modificata viene spesso calcolata scegliendo per $i$ il tasso interno di rendimento del titolo (o portafoglio) di cui ${\underline {x}}$ è il flusso di poste, cioè il tasso (costante) $i$ tale che $V(t,{\underline {x}})$ coincide con il prezzo di mercato di ${\underline {x}}$.

Casi particolari

• Si osserva che, se si considera un titolo a cedola nulla (zero coupon), sia la duration come pure la scadenza media aritmetica ${\overline {t}}$ coincidono entrambe con la vita a scadenza del titolo: $D(t,{\underline {x}})={\overline {t}}=t_{1}-t$
• È dimostrato che la duration in $t$ di una rendita immediata, costante, periodica con periodicità unitaria, posticipata e temporanea è

$D(0,{\underline {r}})={1+i \over i}-{m \over (1+i)^{m}-1}$

• Il rendimento a scadenza (o yield to maturity) dei titoli a cedola variabile non è calcolabile in quanto non sono conosciuti i flussi di cassa generati nel futuro dalle cedole di questi titoli. La loro duration sarà invece molto bassa (vicina a 0) ed è calcolata sull'ipotesi che ogni indicizzazione corrisponda ad un reinvestimento di tutto il capitale al "nuovo tasso variabile" e quindi il rischio (duration) esiste di fatto solo per il tempo intercorso tra una indicizzazione e l'altra (solitamente tale intervallo è approssimativamente pari alla periodicità del pagamento delle cedole).

Voci correlate

• Convexity
• Matematica finanziaria
• Cash flow matching
• Immunizzazione finanziaria

Collegamenti esterni

• Calcolo online della duration, su reghellin.it.