Disuguaglianza di Hardy sulle successioni

La disuguaglianza di Hardy sulle successioni è una disuguaglianza, il cui nome deriva da G. H. Hardy. Essa afferma che se $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ è una successione di numeri reali non identicamente nulli, allora per ogni numero reale $p>1$ si ha

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.$

Una versione integrale della disuguaglianza afferma che se $f$ è una funzione integrabile a valori non negativi, allora

$\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.$

L'uguaglianza vale se e solo se $f(x)=0$ quasi ovunque.

La disuguaglianza di Hardy fu per la prima volta pubblicata e dimostrata (anche se il caso discreto con una costante peggiore) nel 1920 in un commento di Hardy. La formulazione originale fu in una versione integrale leggermente diversa da quella sopra.

Bibliografia

• G. H. Hardy, Littlewood J.E. e Pólya, G., Inequalities, 2nd ed, Cambridge University Press, 1952, ISBN 0-521-35880-9.

• Alois Kufner e Persson, Lars-Erik, Weighted inequalities of Hardy type, World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-195-3.

• Nader Masmoudi, About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann (a cura di), An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 2011, ISBN 978-3-642-19533-4.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Carleman
• Successione