Distribuzione logistica

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Distribuzione logistica
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri \mu (media)
s>0\
Supporto \mathbb{R}
Funzione di densità \frac{e^{-\frac{x-\mu}{s}}}{s\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^2}
Funzione di ripartizione \frac{1}{1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}}
Valore atteso \mu\
Mediana \mu\
Moda \mu\
Varianza \frac{\pi^2}{3}s^2
Indice di asimmetria 0\
Curtosi \frac{6}{5}
Entropia 2+\log s\
Funzione generatrice dei momenti e^{\mu t}\Beta(1-st,1+st)\
(con \Beta la funzione Beta, definita per st con parte reale compresa tra -1 e 1)
Funzione caratteristica e^{i\mu t}\Beta(1-ist,1+ist)\
(con \Beta la funzione Beta, definita per ist con parte reale compresa tra -1 e 1)

In teoria delle probabilità la distribuzione logistica è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali e legata all'equazione logistica descritta dal matematico belga Pierre François Verhulst.

Viene utilizzata in molti degli ambiti che descrivono modelli di crescita tramite l'equazione logistica.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione logistica è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione risolve l'equazione logistica

F'=\frac{1}{s}F(1-F),

con s>0\ .

La distribuzione logistica di parametri (s,\mu) ha funzione di ripartizione

F(x)=\frac{1}{1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}}

e funzione di densità di probabilità

f(x)=F'(x)=\frac{e^{-\frac{x-\mu}{s}}}{s\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^2}.

Le due funzioni possono anche essere espresse in termini di funzioni iperboliche come

f(x)=\tfrac{1}{4s}(\cosh\tfrac{x-\mu}{2s})^{-2},
F(x)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\tanh\tfrac{x-\mu}{2s},

dove \cosh(t)=\tfrac{e^t+e^{-t}}{2} è il coseno iperbolico e \tanh(t)=\tfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} la tangente iperbolica.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione logistica di parametri (s,\mu) ha densità di probabilità simmetrica rispetto a \mu, dove assume il valore massimo. In particolare ha speranza matematica, mediana e moda pari a \mu, mentre il suo indice di asimmetria è 0.

I quantili q_\alpha di ordine \alpha possono essere determinati tramite l'inversa della funzione di ripartizione,

q_\alpha=F^{-1}(\alpha)=\mu+s\log\tfrac{\alpha}{1-\alpha}.

(La funzione \log\tfrac{x}{1-x} è detta funzione logit).

I momenti centrali della distribuzione sono

m_k=\int_\mathbb{R}(x-\mu)^kf(x)dx=\int_\mathbb{R}(x-\mu)^kdF(x)=\int_0^1\left(s\log\tfrac{t}{1-t}\right)^kdt=s^k\pi^k(2^k-2)|B_k|,

dove B_k è il k-esimo numero di Bernoulli.

In particolare la distribuzione ha

varianza \frac{\pi^2}{3}s^2 e
coefficiente di curtosi \gamma_2=\frac{6}{5}.

Altre distribuzioni[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione log-logistica (o loglogistica) è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria X il cui logaritmo \log X segua la distribuzione logistica.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica