Distribuzione di Gumbel

Distribuzione di Gumbel
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$u\$ $\beta >0\$
Supporto	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Funzione di densità	${\frac {1}{\beta }}e^{-z-e^{-z}}$ dove $z={\frac {x-u}{\beta }}$
Funzione di ripartizione	$\exp(-e^{-z})$
Valore atteso	$u+\beta \,\gamma$
Mediana	$u-\beta \,\ln(\ln(2))$
Moda	$u$
Varianza	${\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\beta ^{2}$
Indice di asimmetria	${\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1,14$
Curtosi	${\frac {12}{5}}$
Entropia	$\ln(\beta )+\gamma +1$
Funzione generatrice dei momenti	$\Gamma (1-\beta \,t)\,e^{u\,t}$
Funzione caratteristica	$\Gamma (1-i\,\beta \,t)\,e^{i\,u\,t}$

In teoria delle probabilità, la distribuzione di Gumbel o distribuzione del valore estremo di primo tipo, dall'inglese Extreme Value type 1 (EV1), è una distribuzione di probabilità continua a due parametri $\alpha$ e $u$ che viene usata per descrivere i valori estremi di una serie stocastica continua; il suo nome deriva dal fatto che fu sviluppata ed applicata ai valori estremi da Emil Julius Gumbel.

La funzione di densità di probabilità è data da:

$p(x)=\alpha \cdot \exp(\alpha \cdot (u-x)-\exp(\alpha \cdot (u-x)))$

dove:

• $\alpha ={\frac {1,283}{\sigma (x)}}$, essendo 1,283 lo scarto quadratico medio della variabile ridotta, mentre $\sigma (x)$ è lo scarto quadratico medio del campione di dati;
• $u=\mu (x)-0,45\cdot \sigma (x)$, essendo $\mu (x)$ la media del campione di dati.

o, equivalentemente, definendo:

• $\beta ={{1} \over \alpha }$ ;
• $z={\frac {x-u}{\beta }}$;

si ha la forma più compatta:

$p(z)={\frac {1}{\beta }}\cdot \exp(-z-\exp(-z))$

La funzione di ripartizione è data da:

$P(x)=\exp(-\exp(\alpha \cdot (u-x)))$

Applicazioni notevoli di questa distribuzione sono le previsioni di eventi di piena o di siccità in idrologia o le previsioni di terremoti devastanti in geostatistica.

Voci correlate

• Distribuzione generalizzata dei valori estremi
• Distribuzione di Fréchet
• Distribuzione di Weibull
• Curva di possibilità climatica

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