Distribuzione chi quadrato non centrale

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distribuzione non centrale
Funzione di densità di probabilità
Chi-Squared-(nonCentral)-pdf.png
Funzione di ripartizione
Chi-Squared-(nonCentral)-cdf.png
Parametri (gradi di libertà)
non centralità
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Valore atteso
Mediana
Moda
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti per
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità una distribuzione non centrale (chi quadrato, o chi quadro), è una distribuzione di probabilità che generalizza la distribuzione , descrivendo la somma dei quadrati di variabili aleatorie con distribuzioni normali ridotte ma non centrate.

In statistica viene impiegata per l'analisi della varianza e per alcuni test di verifica d'ipotesi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione descrive la variabile aleatoria

,

dove sono variabili aleatorie variabili indipendenti aventi distribuzioni normali ridotte (ma non necessariamente centrate) , i cui valori attesi soddisfano

.

Il parametro k è detto numero dei gradi di libertà e è il parametro di non centralità. (La notazione per non è uniforme: alcuni autori prendono pari alla metà, oppure alla radice quadrata di questa somma.)

In particolare, per le variabili sono centrate e si ottiene nuovamente la distribuzione χ2:

È possibile definire la distribuzione χ2 non centrale anche tramite variabili aleatorie indipendenti di distribuzione normale standard , prendendo , ovvero

.

Indipendenza di λ[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione dipende da λ e non dai singoli valori μi.

Sullo spazio euclideo di dimensione k, infatti, si possono considerare i vettori

;

la distribuzione di probabilità del vettore normale multivariato è isotropa, ovvero invariante per isometria. In particolare la variabile aleatoria , che è il quadrato della norma di , dipende dalle solo in termini della norma di , ovvero .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Somma[modifica | modifica wikitesto]

Per definizione, la somma di variabili aleatorie di distribuzioni χ2 non centrali è ancora una variabile aleatoria di distribuzione χ2 non centrale (somma dei quadrati di variabili normali ridotte).

Più precisamente, la somma di due variabili aleatorie con distribuzioni e è una variabile aleatoria con distribuzione , con e .

Mistura di distribuzioni χ2[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione χ2 non centrale può essere espressa come mistura di distribuzioni χ2, pesate secondo la distribuzione di Poisson.

In altri termini è la distribuzione di una variabile aleatoria Z, dipendente da una variabile aleatoria J di legge di Poisson , con distribuzione condizionata di Z rispetto a J data da .

In particolare di χ2(k,λ) si possono descrivere

la densità di probabilità
e la funzione di ripartizione

tramite la densità di probabilità e la funzione di ripartizione delle distribuzioni χ2(k+2j).

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La funzione generatrice dei momenti della distribuzione χ2(k,λ) non centrale è

I primi momenti semplici della distribuzione sono

e i suoi primi momenti centrali sono

La funzione caratteristica di χ2(k,λ) è [1]

.

Formule alternative[modifica | modifica wikitesto]

Densità di probabilità[modifica | modifica wikitesto]

La densità di probabilità della distribuzione χ2(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule.

Una formula alternativa è

dove

è una funzione di Bessel del primo tipo, modificata.

Una terza formula è [2]

per

Funzione di ripartizione[modifica | modifica wikitesto]

Anche la funzione di ripartizione della distribuzione χ2(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule. In particolare in statistica sono stati proposti alcuni metodi per cercare di calcolarne alcuni valori .

Una formula ricorsiva, basata sulla funzione di ripartizione della distribuzione χ2 (centrale) è [3]

dove

Valori approssimati si possono invece ottenere tramite la distribuzione Gamma e i primi due[4] o tre[5] momenti, oppure tramite la distribuzione normale.[6]

Distribuzioni non centrali[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando la distribuzione χ2 non centrale come generalizzazione della distribuzione χ2 (centrale) è possibile definire versioni non centrali delle distribuzioni t di Student, F di Fisher-Snedecor e Beta.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) M.A. Sanders, Characteristic function of the noncentral chi-square distribution (PDF), planetmathematics.com. URL consultato il 7 marzo 2009.
  2. ^ D. Kerridge, Gives a very interesting probabilistic derivation, in Aust. J. Statist., 1965.
  3. ^ M. L. Tiku, Uses Laguerre polynomials to represent the noncentral chi-quare distribution, in Biometrika, 1965.
  4. ^ P. B. Patnaik, Points out some interesting geometrical features, in Biometrika, 1949.
  5. ^ E. Pearson, Studies the accuracy of the three-moment chi-square approximation, in Biometrika, 1959.
  6. ^ S. Abdel-Aty, Gives various Cornish-Fisher-type approximations, in Biometrika, 1954.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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