Discussione:Identità di Woodbury

Ho notato una difformita' tra la formula dell'identita' di Woodbury nella versione inglese e quella italiana. Anche MathWorld riporta la stessa formula della versione inglese (peraltro e' agevole verificare la correttezza di quella formula numericamente).

L'errore e' nella quarta formula della dimostrazione: la parte restante dovrebbe essere

"[omissis...] A questo punto si sottrae la prima dalla terza dopo aver moltiplicato per ${\textrm {VA}}^{-1}$:

$\left(-{\textrm {C}}^{-1}-{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right){\textrm {D}}_{21}=-{\textrm {VA}}^{-1}\,\Rightarrow \,{\textrm {D}}_{21}=\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}$

Torniamo a sostituire nella prima equazione:

${\textrm {AD}}_{11}+{\textrm {U}}\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}={\textrm {I}}\,\Rightarrow {\textrm {D}}_{11}={\textrm {A}}^{-1}-{\textrm {A}}^{-1}{\textrm {U}}\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}$

Ora abbiamo due differenti espressioni per la sottomatrice ${\textrm {D}}_{11}$ che dovrebbero essere identiche. Otteniamo così:

$\left({\textrm {A}}+{\textrm {UC}}{\textrm {V}}\right)^{-1}={\textrm {A}}^{-1}-{\textrm {A}}^{-1}{\textrm {U}}\left({\textrm {C}}^{-1}+{\textrm {VA}}^{-1}{\textrm {U}}\right)^{-1}{\textrm {VA}}^{-1}.$

Con questa si completa la dimostrazione."

Daniele

___/\_'o 11:19, Mag 4, 2005 (CEST)

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