Decomposizione polare

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In matematica, in particolare in algebra lineare e analisi funzionale, la decomposizione polare di una matrice o di un operatore lineare continuo è una fattorizzazione analoga alla forma polare di un numero complesso.

Decomposizione di una matrice[modifica | modifica wikitesto]

La decomposizione polare di una matrice quadrata A è una fattorizzazione della forma:

A = UP

dove U è una matrice unitaria e P è una matrice hermitiana semidefinita positiva. Intuitivamente, questa decomposizione separa la matrice in una componente P che stretcha lo spazio lungo un insieme di assi ortonormali e una componente U che rappresenta una rotazione. La decomposizione della complessa coniugata \overline{A} di A è data da \overline{A} = \overline{U} \overline{P}.

Si tratta di una decomposizione che è sempre possibile. Se A è una matrice invertibile, la decomposizione è unica e P è definita positiva. Si nota che:

\det A = \det U\,\det P = re^{i\theta}

fornisce la corrispondente decomposizione del determinante di A, dal momento che \det P = r = |\det A| e \det U = e^{i\theta}.

La matrice P è sempre unica, ed è data da:

P = \sqrt{A^*A}

dove A^* è la trasposta coniugata di A. Se A è invertibile, allora U è data da:

U = AP^{-1}

Relativamente alla decomposizione ai valori singolari A = W \Sigma V^* di A, si ha:

P = V \Sigma V^* \qquad U = W V^*

il che conferma che P è definita positiva e U è unitaria.

Si può anche decomporre A nella forma:

A = P'U

dove U è la medesima e P' è data da:

P' = UPU^{-1} = \sqrt{AA^*} = W \Sigma W^*

La matrice A è normale se e solo se P' =P. In tal caso, U \Sigma=\Sigma U ed è possibile diagonalizzare U con una matrice che commuta con \Sigma e che è simile ad U per mezzo di una matrice unitaria.

Decomposizione di un operatore lineare[modifica | modifica wikitesto]

La decomposizione polare di matrici viene generalizzata al caso degli operatori lineari limitati. Detto A un operatore lineare limitato tra spazi di Hilbert, la sua decomposizione polare è una fattorizzazione canonica A=UP come prodotto di un'isometria parziale U e di un operatore autoaggiunto non-negativo P per i quali il nucleo coincide con il nucleo di A.

Il motivo per cui U è un'isometria parziale, e non un operatore unitario, è che se A è lo shift unilaterale su l^2(\N) allora |A|=(A^* A)^{1/2} = I, quindi se A=U|A| allora U deve essere A, che non è unitario.

L'esistenza della decomposizione polare è una conseguenza del lemma di Douglas: se A e B sono operatori limitati su uno spazio di Hilbert H e A^* A \le B^* B, allora esiste una contrazione C tale che A =CB. Inoltre, C è unico se \ker (B^*) \subset \ker(C). L'operatore C può essere definito dalla relazione:

C(Bh) \equiv Ah \qquad \forall h \in H

e può essere esteso sia alla chiusura dell'immagine di B, sia al complemento ortogonale di H. Il lemma è valido anche in tal caso poiché A^* A \le B^* B implica \ker (A) \subset \ker(B). In particolare, se A^* A = B^* B allora C è un'isometria parziale che è unica se \ker (B^*) \subset \ker(C).

In generale, per ogni operatore limitato A:

A^*A = (A^*A)^{\frac{1}{2}} (A^*A)^{\frac{1}{2}}

e dal lemma si ha:

A = U (A^*A)^{\frac{1}{2}}

per qualche isometria parziale U. Se P=(A^*A)^{1/2} si ottiene la decomposizione polare A=UP.

Operatori non limitati[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui A sia un operatore chiuso, densamente definito tra spazi di Hilbert complessi, ma che non è limitato, allora esiste comunque una (unica) decomposizione polare:

A = U |A|

dove |A| è un operatore autoaggiunto non-negativo che può essere non limitato, e che possiede lo stesso dominio di A, mentre U è un'isometria parziale che si annulla sul complemento ortogonale dell'immagine di |A|.

Quaternioni[modifica | modifica wikitesto]

La decomposizione polare di quaternioni H dipende dalla "sfera" \lbrace x i + y j + z k \in H : x^2 + y^2 +z^2 = 1 \rbrace di radici quadrate di -1: dato un r sulla sfera ed un angolo -\pi < a \le \pi, il versore e^{ar} = \cos (a) + r\ \sin (a) è sulla 3-sfera di H. Per a=0 e a=\pi, il versore è 1 o -1 a seconda di quale r si sceglie. La norma t di un quaternione q è la distanza euclidea di q dall'origine. Quando un quaternione non è solo un numero reale allora vi è un'unica decomposizione polare:

q = t e^{ar}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. New York: Springer 1990
  • (EN) Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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