Decomposizione polare

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In matematica, in particolare in algebra lineare e analisi funzionale, la decomposizione polare di una matrice o di un operatore lineare continuo è una fattorizzazione analoga alla forma polare di un numero complesso.

Decomposizione di una matrice[modifica | modifica wikitesto]

La decomposizione polare di una matrice quadrata è una fattorizzazione della forma:

dove è una matrice unitaria e è una matrice hermitiana semidefinita positiva. Intuitivamente, questa decomposizione separa la matrice in una componente che stretcha lo spazio lungo un insieme di assi ortonormali e una componente che rappresenta una rotazione. La decomposizione della complessa coniugata di è data da .

Si tratta di una decomposizione che è sempre possibile. Se è una matrice invertibile, la decomposizione è unica e è definita positiva. Si nota che:

fornisce la corrispondente decomposizione del determinante di , dal momento che e .

La matrice è sempre unica, ed è data da:

dove è la trasposta coniugata di . Se è invertibile, allora è data da:

Relativamente alla decomposizione ai valori singolari di , si ha:

il che conferma che è definita positiva e è unitaria.

Si può anche decomporre nella forma:

dove è la medesima e è data da:

La matrice è normale se e solo se . In tal caso, ed è possibile diagonalizzare con una matrice che commuta con e che è simile ad per mezzo di una matrice unitaria.

Decomposizione di un operatore lineare[modifica | modifica wikitesto]

La decomposizione polare di matrici viene generalizzata al caso degli operatori lineari limitati. Detto un operatore lineare limitato tra spazi di Hilbert, la sua decomposizione polare è una fattorizzazione canonica come prodotto di un'isometria parziale e di un operatore autoaggiunto non-negativo per i quali il nucleo coincide con il nucleo di .

Il motivo per cui è un'isometria parziale, e non un operatore unitario, è che se è lo shift unilaterale su allora , quindi se allora deve essere , che non è unitario.

L'esistenza della decomposizione polare è una conseguenza del lemma di Douglas: se e sono operatori limitati su uno spazio di Hilbert e , allora esiste una contrazione tale che . Inoltre, è unico se . L'operatore può essere definito dalla relazione:

e può essere esteso sia alla chiusura dell'immagine di , sia al complemento ortogonale di . Il lemma è valido anche in tal caso poiché implica . In particolare, se allora è un'isometria parziale che è unica se .

In generale, per ogni operatore limitato :

e dal lemma si ha:

per qualche isometria parziale . Se si ottiene la decomposizione polare .

Operatori non limitati[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui sia un operatore chiuso, densamente definito tra spazi di Hilbert complessi, ma che non è limitato, allora esiste comunque una (unica) decomposizione polare:

dove è un operatore autoaggiunto non-negativo che può essere non limitato, e che possiede lo stesso dominio di , mentre è un'isometria parziale che si annulla sul complemento ortogonale dell'immagine di .

Quaternioni[modifica | modifica wikitesto]

La decomposizione polare di quaternioni dipende dalla "sfera" di radici quadrate di -1: dato un sulla sfera ed un angolo , il versore è sulla 3-sfera di . Per e , il versore è 1 o -1 a seconda di quale si sceglie. La norma di un quaternione è la distanza euclidea di dall'origine. Quando un quaternione non è solo un numero reale allora vi è un'unica decomposizione polare:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. New York: Springer 1990
  • (EN) Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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